CVIČENÍ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY

Výroky, množiny, zobrazení

(1) Rozhodněte o pravdivosti a negujte výrok

∀x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ : (z > x ⟹ y < z).

(2) Rozhodněte, zda platí

[(a ⟹ b) ⟹ c] ⟺ [a ⟹ (b ⟹ c)],

kde a, b, c jsou libovolné výroky.

(3) Dokažte a nebo vyvraťte následující identitu :

(A△B)△C = A△(B△C),

kde A, B a C jsou libovolné množiny a A△B := (A \ B) ∪ (B \ A).

Reálné čísla

(4) (a) Dokažte, že nulový prvek 0 ∈ ℝ, jednotkový prvek 1 jsou určeny jednoznačně. (b) Dokažte, že ∀a ∈ ℝ existuje právě jeden inverzní prvek a^{−1} ∈ ℝ.

(c) Dokažte rovnost (−1) · a = −a.

(5) Najděte všechna x ∈ ℝ vyhovující vztahům :

(a) |x − 2| − x > |x| + 2|2x − 1|;

(b) 6x − 3|1 − 3x| ≥ 3|x + 2| − 5;

(c) ||x + 1| − |x − 1||< 1.

(6) Dokažte Větu 3.21 z přednášky.

(7) Pomocí principu matematické indukce dokažte následující :

(a) 1 + 2 … + n = \frac{n(n+1)}{2} ;

(b) 1^{2} + 2^{2} + … + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ;

(c) 1^{3} + 2^{3} + … + n^{3} = (1 + 2 + … + n)^{2};

(d) \frac{1}{2} · \frac{3}{4} ⋯ \frac{2n−1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}} .

Spočetné množiny

(8) Nechť 𝒜 je systém po dvou disjunktních intervalů (α, β) ⊂ ℝ, α < β. Dokažte, že 𝒜 je spočetnou množinou.

(9) Ukažte, že množina všech mnohočlenů P (x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} libovolného stupně s racionálními koeficienty a_{0}, a_{1}, …, a_{n} je spočetná.

Typeset by AMS-TEX

(10) (a) Ukažte, že množina algebraických reálných čísel, tj. takových čísel x ∈ ℝ pro které existuje n ∈ ℕ tak, že a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} = 0, kde a_{i} ∈ ℚ, i = 0, 1, …, n je spočetná.

(b) Číslo x ∈ ℝ, které není algebraické se nazývá transcendentní. Pomocí (a) ukažte, že množina všech transcendentních čísel je nespočetná.

(11) (domácí cvičení) Buď M nekonečná spočetná množina.

(a) Ukažte, že množina všech zobrazení f : M → ℕ, domf = M je nespočetná.

(b) Ukažte, že množina všech zobrazení f : M → ℕ, takových, že f(M) = ℕ, domf = M, f je prosté (tedy množina všech bijekcí mn. M na mn. ℕ) je nespočetná.

Posloupnosti

(12) Dokažte z definice limity posloupnosti, že (a) lim_{n→∞} \frac{n}{n+1} = 1;

(b) lim_{n→∞} 2(1 + 1/n) = 2;

(c) lim_{n→∞} \frac{n}{n^{2} −8} = 0.

(13) Ukažte, že posloupnost a_{n} = \frac{(−1)^{n}n+10}{\sqrt{n^{2} +1}} , n ∈ ℕ je omezená.

(14) Ukažte omezenost, resp. neomezenost následujících posloupností :

(a) a_{n} = n^{cos(π·n)}, n ∈ ℕ

(b) a_{n} = \frac{100−n^{3}}{n^{2} −10} , n ∈ ℕ;

(c) a_{n} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(k+1)} , n ∈ ℕ.

(15) Ukažte, že následující posloupnosti jsou monotónní, počínaje jistým indexem n ∈ ℕ. (a) a_{n} = \frac{n+1}{2n−1} , n ∈ ℕ;

(b) a_{n} = \frac{3n+4}{n+2} , n ∈ ℕ;

(c) a_{n} = \frac{100n}{n^{2} +16} , n ∈ ℕ.

(16) S použitím tzv. Bernoulliho nerovnosti (viz. Př. 1.3.24) zjistěte limity posloupností (a) a_{n} = c^{n} pro c ∈ ℝ, c > 0;

(b) a_{n} = \frac{n}{2^{n}}

(c) a_{n} = nq^{n}, |q| < 1;

(d) a_{n} = \sqrt[n]{a}, a ∈ ℝ, a > 0;

(e) a_{n} = \sqrt[n]{n}.

(17) Ukažte, že pro k ∈ ℕ platí :

lim_{n→∞} (1 + \frac{k}{n}) ^{n} = e^{k}.

(18) Vypočtěte následující limity :

(a) lim_{n→∞} \frac{(2n+1)(3n+3)(3n−8)}{n^{3} −n^{2} +1} ;

(b) lim_{n→∞} (\frac{n^{5} +1}{2n^{5} +3n} )^{4} ;

(c) lim_{n→∞} \frac{(n+1)^{4} −(n−1)^{4}}{(n+1)^{4} +(n−1)^{4}} ;

(d) lim_{n→∞} \frac{n!}{(n+1)!−n!} ;

(e) lim_{n→∞} \frac{(−2)^{n}+3^{n}}{(−2)^{n+1} +3^{n+1}} ; (f) lim_{n→∞} \frac{a^{n}}{1+a^{n}} (a > 0);

(g)(*) lim_{n→∞} \frac{5n^{3} cos n}{3n−7};

(h) lim_{n→∞} \frac{n cos^{3} n}{3n^{3} −7}; (ch) lim_{n→∞}(1 − \frac{4}{n})^{n};

(i) lim_{n→∞} (\frac{n}{n+1} )^{4n} .

(19) Nechť p ∈ ℕ, p ≥ 2, a nechť a > 0, x_{0} > 0. Položme

(*)  x_{n+1} := \frac{1}{p}((p − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{p−1}} ).

Dokažte, že je posloupnost {x_{n}}_{n=0}^{∞} konvergentní a že x_{n} → ω > 0, a ω^{p} = a.

\underline{Definice} : Je-li a > 0, p ∈ ℕ definujeme \sqrt[p]{a} ∈ ℝ jako kladné číslo ω, pro které platí ω^{p} = a, pro a = 0 definujeme \sqrt[p]{a} := 0. □

(20) Nechť a_{n} ≥ 0, ∀n ∈ ℕ, p ∈ ℕ, a_{n} → a ∈ ℝ, pak \sqrt[p]{a_{n}} → \sqrt[p]{a}.

(21) Posloupnost ⟨a_{n}⟩_{n=1}^{∞} je dána předpisem : a_{1} = 0, a_{n} = \frac{a_{n−1} +3}{4} pro n ≥ 2. Dokažte konvergenci této rekurentně zadané posloupnosti a spočtěte její limitu.

(22) Užitím Stolzovy věty vypočítejte následující limity :

(a) lim_{n→∞} \frac{1^{p}+2^{p}+...+n^{p}}{n^{p+1}} , p ∈ ℕ

(b) lim_{n→∞} ^{\frac{1+\sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}+...+ \sqrt[n]{n}}{n}}

(c) lim_{n→∞} \frac{c^{n}}{n} , c > 1.

(23) Určete limes superior a limes inferior následujících posloupností.

(a) a_{n} = 1 − \frac{1}{n};

(b) a_{n} = (−1)^{n−1}(2 + \frac{3}{n});

(c) a_{n} = (−1)^{n}n;

(d) a_{n} = 1 + n sin \frac{nπ}{2}.

Číselné řady

(24) Vyšetřete konvergenci řady ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

\underline{Poznámka}: Dokonce lze ukázat, že platí :∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} (viz. J.Veselý Tvrzení 11.5.14). \underline{Věta (kondenzační kritérium, J.Veselý, Věta 3.2.31).}Nechť ⟨a_{n}⟩ je nerostoucí posloupnost nezáporných reálných čísel. Potom

∑ a_{n} < +∞ ⟺ ∑_{k=0}^{∞}2^{k}a_{2^{k}} < +∞.

(25) S využitím kondenačního kritéria vyšetřete konvergenci řad :

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p}} , p ∈ ℝ,

(b) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n(ln n)^{p}} .

(26) Najděte částečný součet a součet řady : (a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2^{n}} (b) ∑_{n=1}^{∞} (1/2^{n} + 1/3^{n}) (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2n−1}{2^{n}} .

(27) Elementárními úvahami a odhady zjistěte, zda konvergují řady :

(a) ∑_{n=1}^{∞} \sqrt{\frac{n+1}{n}} (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n(−1)^{n}}{100n+1} (c) ∑_{n=0}^{∞} sin(\frac{π}{2^{n}}) (d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{3^{n}} (e) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{ln n}

(f) ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln n}{n^{3}}.

(28) Užitím Raabeova kritéria ukažte, že konverguje řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

(29) Užitím podílového kritéria ukažte, že řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!} je konvergentní.

(30) Užitím odmocninového kritéria ukažte konvergenci řady ∑_{n=1}^{∞} \frac{2n−1}{n^{n}} .

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

(31) Z definice limity funkce ukažte, že lim_{x→a} = c, kde f(x) = c ∈ ℝ, x ∈ ℝ.

(32) Pomocí Heineovy věty ukažte, že neexistuje a) lim_{x→0} sgnx a b) lim_{x→+∞} sinx.

(33) Uvažujme funkci ”celá část” : f(x) = [x], x ∈ ℝ, kde [x] := největší celé číslo n ∈ ℤ

takové, že n ≤ x. Ukažte, že (a) funkce f je spojitá v každém bodě a ∈ ℝ \ ℤ,

(b) funkce f je spojitá zprava v každém bodě a ∈ ℤ,

(c) lim_{x→a}[x] neexistuje kdykoliv a ∈ ℤ.

(34) Uvažujme tzv. Dirichletovu funkci definovanou následovně :

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & pro x ∈ ℚ \\ 0 & pro x ∈ ℝ \ ℚ. \end{matrix}

Ukažte, že (a) funkce f nemá v žádném bodě x ∈ \overline{ℝ} limitu.

(b) Funkce g(x) = xf(x), x ∈ ℝ je spojitá právě v jednom bodě a = 0.

(35) Uvažujme tzv. Riemannovu funkci

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & pro x ∈ ℝ \ ℚ \\ \frac{1}{q} & pro x = \frac{p}{q}, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ, p, q nesoudělná \end{matrix}

Ukažte, že funkce f je spojitá v bodě a právě, když a ∈ ℝ \ ℚ.

(36) (*) Dokažte si, že každá monotónní funkce f : ℝ → ℝ má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti.

(37) Dokažte, že pro libovolnou periodickou funkci f : ℝ → ℝ, lim_{x→∞} f(x) existuje právě když f(x) = c ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ.

(38) Ukažte, že existuje limita : lim_{x→0} x sin \frac{1}{x} a dokažte neexistenci limity : lim_{x→0} sin \frac{1}{x}.

(39) Ukažte, že lim_{x→+∞} P (x) = sgna_{n}·(+∞), a lim_{x→−∞} P (x) = (−1)^{n} sgna_{n}·(+∞), kde P (x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}, x ∈ ℝ je polynom n−tého stupně (a_{n} ≠ 0).

(40) Vypočítejte limitu : lim_{x→±∞} \frac{x^{2} −5x+6}{x^{2} −x−2} .

(41) Dokažte, že je-li R racionální funkce s reálnými koeficienty, R(x) = \frac{P (x)}{Q(x)} , P (x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}, Q(x) = ∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l}, a_{n} ≠ 0, b_{m} ≠ 0, pak platí :

lim_{x→+∞} R(x) = \{ \begin{matrix}0 & pro m > 0 \\ \frac{a_{n}}{b_{n}} & pro m = n \\ (+∞) · sgn(\frac{a_{n}}{b_{n}}) & pro m < n. \end{matrix}

(42) Ukažte, že lim_{x→0} [\frac{1}{x^{2}} ] = +∞.

(43) Nechť p ∈ ℕ. Ukažte, že pak funkce f(x) = \sqrt[p]{x}, x ≥ 0 je spojitá zprava v bodě a = 0.

(44) Buďte p, n ∈ ℕ. Pak ukažte, že (a) lim_{x→0} \frac{(1+x)^{n}−1}{x} = n, (b) lim_{x→0} \frac{\sqrt[p]{1+x} −1}{x} = \frac{1}{p}.

(45) Předpokládejme, že jsme již dokázali, že lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1. Potom dokažte, že platí (a) lim_{x→0} \frac{1=cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}, b(b) lim_{x→0} \frac{tan x−sin x}{x^{3}} = \frac{1}{2}.

\underline{Věta.} Nechť f(x) je funkce definovaná na nějakém prstencovém okolí bodu a ∈ ℝ a nechť g(x) je funkce definovaná na nějakém okolí (ne prstencovém) bodu a a je v bodě a spojitá. Dále nechť platí : f(x) = g(x) na nějakém prstencovém okolí bodu a. Pak existuje lim_{x→a} f(x) a platí : lim_{x→a} f(x) = g(a). Důkaz Věta je důsledkem definice spojitosti a limity funkce v bodě. □ V následujících příkladech budeme tuto větičku mnohokráte používat.

(46) Spočítejte následující limity :

(a) lim_{x→1} \frac{x^{2} −1}{2x^{2} −x−1} ,

(b) lim_{x→0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)−1}{x} ,

(c) lim_{x→0} \frac{(1+mx)^{n}−(1+nx)^{m}}{x^{2}} , kde m, n ∈ ℕ,

(d) lim_{x→2} \frac{x^{3} −2x^{2} −4x+8}{x^{4} −8x^{2} +16} ,

(e) lim_{x→1} \frac{x^{100} −2x+1}{x^{50} −2x+1} .

(f) lim_{x→+∞} \frac{\sqrt{x}+ \sqrt[3]{x}+ \sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}} ,

(g) lim_{x→3} \frac{\sqrt{x+13} −2\sqrt{x+1}}{x^{2} −9} ,

(h) lim_{x→16} \frac{\sqrt[4]{x}−2}{\sqrt{x}−4}, (ch) lim_{x→0} \frac{sin 5x}{x} ,

(i) lim_{x→∞} \frac{sin}{x} ,

(j) lim_{x→0} \frac{tan x}{x},

(k) lim_{x→0} \frac{cos x−cos 3x}{x^{2}}.

(47) Doma. Dokažte, že jestliže na nějakém pravém prstencovém okolí bodu platí :f(x) < A a jestliže lim_{x→a+} f(x) = A, lim_{y→A−} g(y) = B, potom platí lim_{x→a+} (g∘f)(x) = B.

(48) Vypočítejte následující limity :

(a) lim_{x→0} \frac{1−cos x(1−cos x)}{x^{4}} ,

(b) lim_{x→2} \frac{x^{2} −4}{cos \frac{π}{4}x},

(c) lim_{x→ \frac{π}{4}} \frac{cos x−sin x}{cos 2x},

(d) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1+tan x} −\sqrt{1+sin x}}{x^{3}} ,

(e) lim_{x→0+} \frac{1−\sqrt{cos x}}{1−cos(\sqrt{x})} ,

(f) lim_{x→+∞} (sin \sqrt{x + 1} − sin \sqrt{x}).

(49) K výpočtu následujících vzorových limit využijte limitu : lim_{x→0} \frac{e^{x}−1}{x} = 1. (a) lim_{x→0} \frac{a^{x}−1}{x} pro a > 0, (b) lim_{x→0} \frac{ln(1+x)}{x} ,

(c) lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x}) ^{x} .

(50) Spočítejte limity :

(a) lim_{x→+∞} x[ln(x + 1) − lnx],

(b) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1+x sin x} −1}{e^{x^{2}} −1},

(51) (Doma.) Nechť P_{δ}(a) označuje prstencové okolí bodu a o poloměru δ. Dokažte si

následující tvrzení.

Nechť lim_{z→a} ψ(z) = A. Dále nechť ke každému η > 0 existuje δ > 0 tak, že P_{δ}(A) ⊂ ψ[P_{η}(a)]. Je-li lim_{z→a}(f ∘ ψ)(z) = B, pak je také lim_{x→A} f(x) = B.

(52) Uvažujme tzv. Heavisideovu funkci f(x) definovanou předpisem :

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & pro x ≥ 0 \\ 0 & pro x < 0. \end{matrix}

Dále položme ψ(z) = z^{2}, z ∈ ℝ. Počítejte nyní limity lim_{z→0}(f ∘ψ)(z), lim_{x→0} f(x) a výsledky konfrontujte s tvrzením z předchozího cvičení.

(53)

Výpočet limit typu limu(x)^{v(x)}

(a) lim_{x→+∞} (\frac{x+2}{2x−1} )^{x^{2}} ,

(b) lim_{x→0}(1 + x^{2})^{cot^{2} x}, (54)

Různé limity.

(a) lim_{x→0} \frac{e^{3x} −1}{4x},

(b) lim_{x→0} \frac{3^{sin x}−1}{2x} ,

(c) lim_{x→0} \frac{ln(1−5x)}{x} ,

(d) lim_{x→+∞} (\frac{3x+2}{3x+5} )^{x+4} ,

(e) lim_{x→+∞} (\frac{x+4}{x+2} )^{4x−1} ,

(f) lim_{x→0} arccot(ln(x + 1)),

(g) lim_{x→0} \frac{x}{|x|},

(h) lim_{x→5} \frac{(−1)^{[x]}}{x−5} .

(55) Dokažte následující tvrzení :

(a) 2x − x^{2} = O(x), x → 0,

(b) x sin \frac{1}{x} = O(|x|), x → 0,

(c) (1 + x)^{n} = 1 + nx + o(x), x → 0, n ∈ ℕ.

Derivace funkce-základní vlastnosti

(56) Počítejte f′(0) jestliže (a) f(x) = sgn(x), x ∈ ℝ, (b) f(x) = \sqrt[3]{x}, x ∈ ℝ, (c) f(x) = x^{2}, pro x ∈ ℚ a f(x) = 0 pro x ∈ ℝ \ ℚ. (d) f(x) = |x|.

Poznámka Funkce f z cvičení (c) má konečnou derivaci v bodě 0 a neexistuje vlastní ani nevlastní derivace f′(x), ∀x ∈ ℝ, x ≠ 0.

(57) Užitím věty o derivaci inverzní funkce určete derivaci funkce : f(x) = lnx, x ∈ (0, ∞).

(58) Najděte derivace funkcí : f(x) = sin x, f(x) = cos x, pro x ∈ ℝ, f(x) = tg x, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ, f(x) = cotg x, x ≠ kπ, k ∈ ℤ, f(x) = x^{α}, α ∈ ℝ, x ∈ (0, ∞).

Tabulka derivací

(1) f(x) = c, x ∈ ℝ, c ∈ ℝ(ℂ), f′(x) = 0.

(2) f(x) = x, x ∈ ℝ, f′(x) = 1.

(3) (e^{x})′ = e^{x}, x ∈ ℝ.

(4) (ln|x|)′ = 1/x, x ∈ ℝ \ {0}.

(5) (a^{x})′ = a^{x} lna, x ∈ ℝ, a ∈ (0, ∞).

(6) (log_{a} x)′ = \frac{1}{x ln a}, x ∈ (0, ∞), a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),

(7) (sinx)′ = cosx, x ∈ ℝ,

(8) (cosx)′ = − sinx, x ∈ ℝ,

(9) (tanx)′ = \frac{1}{cos^{2} x}, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ,

(10) (cotx)′ = −\frac{1}{sin^{2} x}, x ≠ kπ, k ∈ ℤ,

(11) (arcsinx)′ = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} , |x| < 1,

(12) (arccosx)′ = −\frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} , |x| < 1,

(13) (arctanx)′ = \frac{1}{1+x^{2}} , x ∈ ℝ,

(14) (arccotx)′ = −\frac{1}{1+x^{2}} , x ∈ ℝ,

(15) (sinhx)′ = coshx, x ∈ ℝ,

(16) (coshx)′ = sinhx, x ∈ ℝ,

(17) (tanhx)′ = \frac{1}{cosh ^{2} x}, x ∈ ℝ,

(18) (cothx)′ = −\frac{1}{sinh^{2} x}, x ∈ ℝ \ \{0\},

(19) (x^{α})′ = αx^{α−1}, x > 0, α ∈ ℝ; x ∈ ℝ, α ∈ ℕ ∪ {0}; x ∈ ℝ \ {0}, α ∈ ℤ, α < 0.

(59) Budiž f(x) = f_{1}(x) + if_{2}(x) komplexní funkce. Ukažte, že funkce f má v bodě a ∈ ℝ derivaci právě když existují derivace f′_{1}(a) a f′_{2}(a). Pak platí formule f′(a) = f′_{1}(a) + if′_{2}(a).

(60) Odvoďte vzorce pro derivace funkcí: f(x) = arcsinx, f(x) = arccosx, f(x) = arctanx, f(x) = coshx, f(x) = sinhx.

(61) Najděte derivace daných funkcí včetně jejich definičního oboru užitím základních

vět o výpočtu derivací a s využitím tabulkových derivací :

(a) y = ln(x^{3}) + 2 ln(x^{2}),

(b) y = x^{2} log_{4} x,

(c) y =\sqrt{x +\sqrt{x +\sqrt{x}}} ,

(d) y = e^{x^{2} ln x},

(e) (\frac{1+x}{1−x})^{\frac{1−x}{1+x}} ,

(f) y = x^{x^{x}},

(g) y = ln \frac{x^{x}−1}{x^{x}} .

(62) Najděte derivace druhého řádu následujících funkcí :

(a) y = e^{x^{2}},

(b) ln(\sqrt[3]{1 + x^{2}} ),

(c) y = ln(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} ).

(63) Spočítejte f′_{−}(a), f′_{+} (a) a rozhodněte, zdali existuje derivace f′(a)!

f(x) = | cosx|, a = 1/2 · kπ, k ∈ ℤ.

(64) Najděte derivace a jejich definiční obory následujících funkcí (počítejte derivace

bez i s použitím věty o limitě derivací) :

(a) f(x) = x|x|,

(b) f(x) = |x|^{3},

(c) f(x) = | sinx| sinx,

(d) [x] · sin^{2}(πx).

(65) Nechť

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & pro x ≤ 1 \\ Ax + B & pro x > 1. \end{matrix}

Určete konstanty A, B tak, aby existovala derivace f′(1). Řešte úlohu bez i s použitím věty o limitě derivací.

(66) Najděte derivaci funkce

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin(\frac{1}{x}) & pro x ≠ 0 \\ 0 & pro x = 0. \end{matrix}

a zkoumejte spojitost této derivace.

Derivace parametricky zadané funkce

\underline{Věta o derivaci paramericky zadané funkce.} Předpokládejme, že máme dány dvě funkce x = φ(t), y = ψ(t), kde t ∈ (α, β), t_{0} ∈ (α, β), α ≠ β. Dále nechť mají funkce φ a ψ vlastní derivace v bodě t_{0}, φ je prostá funkce a φ′(t_{0}) ≠ 0. Pak má funkce f = ψ ∘ φ^{−1} má v bodě x_{0} = φ(t_{0}) vlastní derivaci a platí f′(x_{0}) − \frac{ψ(t_{0} )}{φ(t_{0} )} . \underline{Důkaz.} Důkaz je jednoduchým důsledkem věty o derivaci složené funkce.

(67) Najděte derivace následujících parametricky zadaných funkcí:

(a) x = 2t − 1, y = t^{3}, (b) x = 1/(t + 1), y = (\frac{t}{t+1} )^{2}, (c) Vypočtěte derivaci (\frac{dy}{dx})_{t=π/2} , jestliže x = a(t − sint), y = a(1 − cost), (d) Vypočtěte derivaci (\frac{dy}{dx})_{t=1} , jestliže x = t lnt, y = \frac{ln t}{t}.

Geometrický význam derivace

(68) Najděte rovnici tečny ke křivce (a) y = x^{2} − 3x − 1, T = [2,?], (b) y^{2} = x^{3}, T = [?, −8].

(69) Najděte rovnici normály ke křivce v bodě N : xy = 4, N = [?, −1].

(70) Najděte rovnici tečny ke křivce rovnoběžné s přímkou p. Křivka je dána rovnicí xy = 8, a přímka p rovnicí: 2x + y − 3 = 0.

(71) Pomocí věty o derivaci parametricky zadané funkce najděte rovnici tečny ke křivce x^{2} + y^{2} = 1 v bodě T : [\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2].

Užití diferenciálu (72) Vyčíslete přírůstek funkční hodnoty f(a+h) = f(a) funkce f a diferenciál df(a)(h)

a porovnejte je. Dále vyčíslete hodnoty ω(h) = (f(a + h) − f(a)) − df(a)(h) a \frac{ω(h)}{h} . (a) f(x) = x^{2} − x, a = 5, h = 2, h = −0.2, h = 0.02.

(b) f(x) =\sqrt{x}, a = 9, h = −2.9, h = 0.31, h = −0.028.

(73) Délka periody T matematického kyvadla je dána vzorcem T = 2π\sqrt{l/g}, kde l značí délku kyvadla, g gravitační zrychlení (g ≐ 9.8ms^{−1}). Určete přibližně užitím diferenciálu změnu Δl délky 40cm kyvadla tak, aby se perioda T změnila o ΔT = 0.2 s.

(74) Dokažte užitím diferenciálu funkce přibližný vzorec sinx ≈ x pro x blízká nule.

(75) S použitím diferenciálu funkce vypočítejte přibližně hodnotu sin31^{0}.

Aplikace základních vět diferenciálního počtu

(76) Rozhodněte, zda funkce splňující předpoklady Rolleovy věty na intervalu ⟨a, b⟩. V

případě, že ano, určete odpovídající hodnotu ξ ∈ (a, b) tak, aby f′(ξ) = 0. (a) f(x) = (x + 2)(x − 5), a = −2, b = 5,

(b) f(x) = | sinx|, a = −π, b = 2π.

(77) Ukažte, že rovnice x^{3} − 3x^{2} + 6x − 5 = 0 má právě jeden reálný kořen.

(78) Užitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě dokažte, že ∀a, b ∈ (0, ∞), a < b platí

\frac{b − a}{b} < ln \frac{b}{a} < \frac{b − a}{a}.

Užití L’Hospitalova pravidla

(79)

Přímé užití L’H pravidla (1) lim_{x→0} \frac{x cos x−sin x}{x^{3}}

(2) lim_{x→1} \frac{ln x}{cos \frac{π}{2}x}

(3) lim_{x→π/4} \frac{tan x−1}{sin 4x}

(4) lim_{x→1} \frac{x^{x}−1}{ln x} (80)

Vícenásobné užití L’H pravidla (1) lim_{x→0} \frac{e^{x}−e^{−x}−2x}{x−sin x}

(2) lim_{x→0+} \frac{ln x}{cot x}

(3) lim_{x→0} \frac{x−sin x}{x^{3}}

(4) lim_{x→0} \frac{x−sin x}{1−cos x} (81)

Neurčité výrazy typu 0 · ∞ (1) lim_{x→1}(1 − x) tan \frac{π}{2}x

(2) lim_{x→1} ln(2 − x) cotπx

(3) lim_{x→0}(e^{x} − 1) cotx

(4) lim_{x→∞} x(e^{1/x} − 1) (82)

Neurčité výrazy typu ∞ − ∞ (1) lim_{x→0+} (\frac{1}{x} − \frac{1}{e^{x}−1})

(2) lim_{x→π/2}(tanx − \frac{1}{\frac{π}{2}−x})

(3) lim_{x→1}(\frac{2}{x^{2} −1} − \frac{1}{x−1})

(4) lim_{x→0}(\frac{1}{sin x} − \frac{1}{x}) (83)

Neurčité výrazy typu 0^{0}, ∞^{0}, 0^{∞}, 1^{∞} k nimž vedou funkce typu [u(x)]^{v(x)} (1) lim_{x→1−}(1 − x)^{cos \frac{π}{2}x}

(2) lim_{x→0+} x^{x}

(3) lim_{x→0+} (ln \frac{1}{x})^{x}

(4) lim_{x→0} (\frac{sin x}{x})^{\frac{1}{x^{2}}}

(5) lim_{x→ \frac{π}{4}}(tanx)^{tan 2x} (84)

Případy, kdy nelze použít L’H pravidla (1) lim_{x→0} \frac{x^{2} sin \frac{1}{x}}{sin x}

(2) lim_{x→∞} \frac{x−sin x}{x+sin x} Průběh funkce

Při vyšetřování průběhu funkcí se zjišťují postupně :

(1) Definiční obor funkce.

(2) Spojitost v bodech definičního oboru.

(3) Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti, pokud existují.

(4) Asymptoty v bodech +∞ a −∞.

(5) Existenci a hodnotu oboustranné derivace, resp. jednostranných derivací.

(6) Maximální intervaly na nichž je funkce monotónní,

(7) Absolutní extrémy a lokální extrémy.

(8) Maximální intervaly na nichž je funkce konvexní, resp. konkávní; inflexní body.

(9) Graf funkce. Druhou derivaci není nutné zjišťovat, její výpočet však bude často prostředkem

k vyšetření extrémů, konvexity a inflexních bodů.

(85) Vyšetřete průběhy následujících funkcí :

(a) f(x) = coshx = \frac{e^{x}+e^{−x}}{2} ,

(b) f(x) = sinhx = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2},

(c) f(x) = \frac{arcsinx}{\sqrt{1−x^{2}}},

(d) f(x) = ln(x + \sqrt{1 + x^{2}} ),

(e) f(x) == \frac{e^{x}}{1+x} .

(86) (Jensenova nerovnost). Ukažte, že funkce definovaná na intervalu I je konvexní, jestliže splňuje obecnější Jensenovu nerovnici :

f(∑_{i=0}^{p}λ_{i}x_{i}) ≤ ∑_{i=0}^{p}λ_{i}f(x_{i}),

kdykoliv λ_{i} ≥ 0, ∑_{i=0}^{p} = 1, x_{0}, … x_{p} ∈ I.

(87) Nechť f je reálná funkce definovaná na intervalu I ⊆ ℝ. definujme tzv. nadgraf funkce f jako množinu epi(f) := {(x, μ) ∈ ℝ^{2} : f(x) ≤ μ x ∈ I}. Ukažte, že funkce f je konvexní právě, když je množina epi(f) konvexní. (Připomeňme, že podmnožina X v lineárním prostoru V je konvexní, jestliže s každými dvěma body x_{1}, x_{2} ∈ X obasahuje i celou úsečku [x_{1}, x_{2}] := {αx_{1} + (1 − α)x_{2} : α ∈ [0, 1]}.)

(88) Ukažte, že je-li f konvexní funkce na intervalu I, potom je množina {x : f(x) ≤ α} konvexní pro každé α ∈ ℝ.

(89) (a) Nechť f : (0, ∞) → ℝ, pak je funkce 0 < x ↦ g(x) :== xf(1/x) konvexní na

intervalu (0, ∞).

(b) Je-li funkce g konvexní, resp. ryze konvexní, potom je složená funkce f(x) = e^{g(x)} konvexní, resp ryze konvexní.

(c) Je-li funkce g konvexní, potom je konvexní i funkce f, definovaná předpisem

f(x) = \{ \begin{matrix}[g(x)]^{2} & pro g(x) ≥ 0 \\ 0 & pro g(x) < 0. \end{matrix}

(90) (existence globálního extrému).

\underline{Definice.} Nechť M ⊆ ℝ. Řekneme, že množina M je uzavřená, jestliže pro každou posloupnost {x_{n}} ⊂ M platí imlikace :

x = lim_{n→∞} x_{n} ⟹ x ∈ M.

(a) Ukažte, že je-li funkce f definovaná na neprázdné uzavřené množině D spojitá, potom je pro každé α ∈ ℝ množina {x : f(x) ≤ α} uzavřená.

(b) (Weierstrass). Nechť funkce f definovaná na množině D jako v bodu (a) je spojitá a pro každé α ∈ ℝ je množina {x : f(x) ≤ α} omezená. Potom existuje bod x̂ ∈ D takový, že

f(x̂) = inf{f(x) : x ∈ D}.

Návod. Použijte Bolzano-Weierstrassovu větu, že z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.

Aproximace polynomy

(91) Uvažujte funkci f(x) = ln(1 + x) a najděte Maclaurinův polynom n−tého stupně.

(92) Uvažujte funkci

f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & pro x ≠ 0 \\ 0 & pro x = 0 \end{matrix}

a ukažte, že funkci f nelze libovolně přesně aproximovat Maclaurinovým mnohočlenem na libovolně malém okolí nuly.

(93) Najděte Taylorův polynom nejvýše 3. stupně funkce f(x) = \frac{1}{cos x} v bodě x_{0} = π.

(94) Dokažte, postačující podmínku existence lokálního extrému druhého řádu (tj. obsahující derivaci druhého řádu), užitím Peanovy věty.