Plán práce na 2. semestr, 03/04
V tomto semestru budeme prakticky výhradně pracovat s učebnicemi :
[KI] Kopáček Jiří, Matematická analýza pro fyziky I, Matfyzpress, Praha ,1997.
[PI] Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky I.,Matfyzpress, Praha, 2002.
Jako doplňkovou literaturu budu používat klasické učebnice :
[DI] Jarník Vojtěch, Diferenciální počet I, Academia, Praha.
[I1] Jarník Vojtěch, Integrální počet I, Academia, Praha.
[Dě] Děmidovič Boris Pavlovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003.
Zmíněné publikace od Jiřího Kopáčka a další publikace najdete na www stránkách vydavatelství Matfyzpress : http://www.mff.cuni.cz/fakulta/mfp/ , kde je také kontakt pro případnou objednávku .
Bohužel v současné době není v aktuální nabídce publikace KI. Na rok 2004 je plánováno nové vydání.
1.týden
Budeme probírat : Funkce jedné reálné proměnné, limitu a spojitost - viz Kapitola 3. v KI.
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) definice funkce reálné i komplexní, graf funkce (KI, odst. 3.1)
B) složená, prostá a inverzní funkce (KI, odst. 3.2)
C) omezené funkce (KI, odst. 3.3).
D) pojem okolí a redukovaného (nebo též prstencového což je totéž) okolí- viz KI, Def. 3.9.
Přednáška:
Soustředíme se na výklad definice limity (oboustranné i jednostranné) funkce a spojitosti funkce
(oboustranné a jednostranné). Uvedeme si tzv. epsilon-delta definici. Proces vrcholí obecnou definicí limity funkce zahrnující všechny případy a využívající pojmu redukované okolí (vlastního bodu resp. plus minus nekonečna).
Cvičení:
Viz. PI , 3.kapitola. Procvičovat se bude definice limity funkce a spojitosti funkce. Procvičí se též jednostranné formy limity a spojitosti. Ilustrovat to budeme na jednoduchých funkcích jako je např. konstantní funkce, lineární funkce, kvadratická funkce nebo "celá část."
čtvrtek
Samostatně si prosím projděte témata :
E) Promyslete si dobře obecnou definici limity funkce (viz. K1, Def. 3.14) a následné poznámky.
F) Dokažte si sami větu o souvislosti existence oboustranné limity a existence jednostranných limit (viz. K1, Věta 3.1.).
Přednáška:
Cílem je ukázat možnosti, jak charakterizovat limitu, resp. spojitost funkce. Jedná se o Heineovu větu využívající pojem limity posloupnosti (viz. K1, odst. 3.5, Věty 3.2 a, 3.2b). Heineova definice nám umožní odvozovat základní věty o limitách funkcí pomocí vět o posloupnostech (viz. K1, odst. 3.6.) Mimo jiné se Heineova věta výborně hodí při různých důkazech neexistence limit (viz. K1, Př. 3.17). Ale lze též s úspěchem využít tuto větu k důkazu existence limity funkce jak ukazuje příklad funkce f(x)= x sin(1/x). Je dobré též znát variantu Heineovy věty pro spojitost (K1, Důsledek 3.2.)! Konečně provedeme důkaz tzv.Bolzano-Cauchyovy podmínky (Věta 3.17), jejíž důkaz je aplikací jednak Heineovy věty a jednak Bolzano-Cauchyovy věty o tom, že každá fundamentální posloupnost v R konverguje.
2.týden
Budeme probírat : Funkce jedné reálné proměnné, limitu a spojitost - viz Kapitola 3. v KI.
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Projděte si větu o limitě a spojitosti komplexní funkce a pokuste si ji dokázat na základě Heineovy věty.
B) Vyberte některou ze základních vět o výpočtu limit funkcí (viz. K1, odst. 3.6) a dokažte ji s pomocí Heineovy věty a příslušné věty z teorie limit posloupností! Jako inspirace by nám také mohl složit důkaz Bolzano-Cauchyovy podmínky.
C) Jako analogii k tématu o monotónních posloupnostech promyslete téma o monotónních funkcích a jejich limitách (viz KI, odst. 3.7). Nezapomínejte na zásadu hledání konkrétních příkladů a kreslení vhodných obrázků. Pročtěte zejména definici (3.16) a příklady.
D) Promyslete si vztah monotónnosti a prostoty funkce , tedy pročtěte si věty 3.22 a 3.23 plus jednoduchý příklad 3.28. (Zvídaví lidé se mohou pokusit dokázat samostatně větu 3.23, třeba užitím Bolzanovy věty o řešení rovnice f(x)=0 na intervalu, viz. KI, V.3.24).
E) Podívejte se do matematicko-fyzikálních tabulek na vzorce pro součty a rozdíly sinu resp. kosinu, které budeme potřebovat.
F) Zopakujte si geometrickou definici trigonometrických funkcí využívající jednotkové kružnice.
Přednáška:
a) Dokážeme spojitost funkce sinus, resp. kosinus na základě geometrického názoru (viz body E) a F) nahoře)
a odvodíme vzorovou limitu lim_x->0 sin x/x=1.
b) Dokážeme věty o spojitosti a limitě složených funkcí viz. KI, odst. 3.8.
Cvičení:
Probíráme 3. kapitolu, odstavec 3.1 z PI - limita funkce.
čtvrtek
Poznámka: Kapitola 3 je okopírována a je možno si ji u paní sekretářky půjčit a okopírovat pro vlastní potřebu.
Samostatně si prosím projděte témata :
G) Pročtěte si základní vlastnosti mocninných funkcí a exponenciálních funkcí (viz KI, věta 3.27.)
H) Pročtěte si základní vlastnosti logaritmické funkce (viz KI, věta 3.28).
Ch) Zamyslete se odkud plyne spojitost logaritmické funkce!
I) Pročtěte si vlastnosti goniometrických funkcí a funkcí k nim inverzních. Seznamte se informativně s tzv. hyperbolickými funkcemi (viz. odst. 3.12 v KI)
J) Proveďte si cvičení 3.11 (KI).
Přednáška:
c) Ukážeme si pár aplikací věty o spojitosti a limitě složené funkce.
d) Provedeme podrobně důkaz věty o mezihodnotách (KI, V.3.24). Ukážeme si možnosti alternativního důkazu pomocí techniky půlení intervalu s využitím principu do sebe vložených intervalů.
3. týden
Budeme probírat : Funkce jedné reálné proměnné, limitu a spojitost - viz Kapitola 3. v KI.
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Prostudujte si doma odstavce 3.13 z KI o polynomech a racionálních funkcích.
B) Prostudujte si poznámky o výpočtu limit (viz. KI, odst. 3.16). K tomuto tématu se ještě vrátíme na cvičení.
Přednáška:
a) Dokážeme si "větu o inverzní funkci" - viz. KI, V. 3.25.
b) Podrobně se budeme věnovat zavedení exponenciální funkce - viz. KI odst. 3.11. (přesouvá se na čtvrteční přednášku)
Cvičení:
Probíráme 3. kapitolu, odstavec 3.1 z PI - limita funkce.
Odvodíme si důležitou vzorovou limitu lim_x->0 (e^x-1)/x=1 (viz KI, Př. 3.34).
Věnovat se budeme použití exponenciální funkce k výpočtu limit funkcí typu u(x) ^ v(x) (tj. "u(x) na v(x)").
čtvrtek
Přednáška:
Budeme se věnovat zavedení exponenciální a logaritmické funkce.
4. týden
Budeme probírat : Funkce jedné reálné proměnné, limitu a spojitost - viz Kapitola 3. v KI. a derivaci funkce-viz Kap. 4.
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Odstavec 3.14 o tzv. klasifikaci bodů nespojitosti. Uvedené definice si doplňte vhodnými příklady kromě těch, které jsou uvedeny ve skriptu. Nezapomínejte si kreslit též pokud možno obrázky !
B) Pročtěte si odstavec 3.15 , kde najdete definice symbolů "malé o" a "velké O". Jedná se spíš o formální věci (zavedení symboliky), což mnohdy pomůže zjednodušit vyjadřování při různých důkazech nebo při výpočtech limit. Pročtěte si také následující poznámku.
Přednáška:
a) Dokončíme téma z minulé přednášky.
b) Ukážeme si definici derivace funkce a její geometrickou a fyzikální interpretaci. (KI, kap.4., odst. 4.1.)
Cvičení:
Budeme se věnovat zejména odstavci 3.2 (spojitost).
čtvrtek
Přednáška:
a) Vyjasníme si jaký je vztah mezi existencí derivace funkce v bodě a spojitostí v bodě.
b) Uvedeme a dokážeme základní metody výpočtu derivací funkcí jako je derivace součtu, součinu, podílu funkcí, derivace složené a inverzní funkce.
5. týden
Budeme probírat : Funkce jedné reálné proměnné, derivace- viz Kapitola 4. v KI. Vlastnosti spojitých a derivovatelných funkcí - viz. KI, kap. 5
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Pročtěte si důkazy vět derivaci součinu a podílu funkcí tak jsou uvedeny ve skriptech KI, V. 4.3. Promyslete si též modifikace těchto vět pro případ nevlastních derivací (viz. Poznámka 4.4.)
B) Pročtěte si důkaz věty o derivaci složené funkce tak , jak je proveden ve skriptech KI, V.4.4.
Přednáška:
a) Provedeme důkaz věty o derivaci inverzní funkce (KI, V.4.5.) Jako aplikaci této věty a věty o derivaci složené funkce odvodíme vzorce pro výpočet derivace funkce přirozený logaritmus a funkce obecné mocniny.
b) Uvedeme pojem tzv. diferenciálu a vysvětlíme si jeho vztah k pojmu derivace funkce v bodě (viz. KI, odstavec 4.5).
Cvičení:
Procvičíme fyzikálně-geometrický význam derivace (viz. PI, odst. 4.1.) .
čtvrtek
Poznámka: Kapitola 5 je okopírována a je možno si ji u paní sekretářky půjčit a okopírovat pro vlastní potřebu.
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Opište si tabulku základních derivací.
B) Promyslete si Poznámku 4.6. charakterizující derivaci komplexní funkce reálné proměnné a následný Př. 4.8 v KI.
C) Projděte si definici derivací vyšších řádů, která je typickým příkladem definice matematickou indukcí. Nahlédněte též na důkaz tzv. Leibnizova vzorce (KI, V. 4.6).
D) Seznamte s větou o derivaci parametricky zadané funkce (KI, V.4.8). To odpovídá případu, kdy parametricky zadaná křivka je grafem nějaké funkce což jistě obecně neplatí jak ukazuje příklad x=t^2, y=t.
Přednáška:
Budeme studovat některé lokální vlastnosti funkcí, tj. vlastnosti, vztahující se k okolí bodů, viz. KI, odst. 5.1.
6. týden
Budeme probírat : Vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí - viz. KI, kap. 5
úterý
Přednáška: KI, odst. 5.2, globální vlastnosti funkcí, tj. vlastnosti funkcí na nějakém intervalu. Budeme se věnovat zejména Weierstrassově větě o omezenosti spojité funkce na kompaktním intervalu (KI, V. 5.4) a také Weierstrassově větě o nabývání maxima a minima spojité funkce na kompaktním intervalu (KI, V.5.6.) Tato věta spolu s praktickou větou (KI, V.5.5) a Fermatovou větou dává možnost jak hledat maximální a minimální funkční hodnoty spojitých a zároveň diferencovatelných funkcí na kompaktním intervalu (tj. na omezeném uzavřeném intervalu). Podrobnější výklad lze též nalézt v KI, odst. 5.6.- Maximální a minimální hodnoty reálné funkce na dané množině.
Weierstrasovu větu lze formulovat různými způsoby. Například takto :
Věta (Weierstrass). Budiž f:D-->R funkce definovaná na neprázdné uzavřené podmnožině R a taková, že všechny množiny {x:f(x)<= c} (kde c je libovolné reálné číslo ) jsou omezené v R . Potom nabývá funkce f v množině D globální minimum.
Pokuste se tuto verzi Weierstrasovy věty si dokázat samostatně!
Cvičení: 1.zápočtová písemka na téma limita funkcí v rozsahu cvičebnice PI, odst. 3.1. V druhé polovině opravíme písemku a samostatně si každý propočítá několik příkladů na užití základních vět o výpočtu derivací (viz. PI, odst. 4.2.)
Čtvrtek
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Zopakujte si větu o nabývání mezihodnot a pokuste si samostatně dokázat tvrzení, že spojitým obrazem intervalu J je opět interval, jehož koncovými body jsou infimum a suprémum dané funkce na intervalu J.
B) Popřemýšlejte, jak by se dokazovala výše zmíněná Weierstrassova věta s použitím principu do sebe vložených intervalů.
C) Vraťte se zpět k zavedení komplexní exponenciály a k výpočtu její derivace viz. KI, Př. 4.8.
Přednáška:
a) Uvedeme definici tzv. stejnoměrné spojitosti funkce f na intervalu I, která je silnější podmínkou nežli spojitost funkce f na intervalu I. Ukážeme ovšem, že na kompaktním intervalu jsou tyto podmínky rovnocené (viz. Heine-Cantorova věta, KI-V.5.8.) .
b) Jako aplikaci argumentu uvedeného v úterní přednášce dokážeme důležitou Rolleovu větu (KI, V.5.9) a její důsledek Lagrangeovu větu o přírůstku funkce (KI, V.5.10).
7. týden
Budeme probírat : Vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí - viz. KI, kap. 5
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
Prostudujte si některé zajímavé důsledky Lagrangeovy věty o přírůstku. Např. větu o limitě derivací, která se někdy hodí při výpočtu derivací (KI, Důsledek 5.2) nebo tvrzení, které říká, že funkce, která má na intervalu J omezenou derivaci je na intervalu J lipschitzovská neboli zde vyhovuje tzv. Lipschitzově podmínce (KI, Def. 5.4). Tento výsledek lze využít pro důkazy různých nerovností. Inspirací může být třeba Příklad 5.11.
Přednáška:
a) Probereme tzv. Cauchyovu zobecněnou větu o přírůstku.
b) Předvedeme také některé důsledky předchozích vět, jako je tzv. l´Hospitalovo pravidlo (KI, V. 5.12) nebo charakterizace monotónnosti funkce na intervalu (KI, V.5.13.)
Cvičení : Budeme cvičit výpočet derivací. Konkrétně PI, odst. 4.2, příklady 11,19, 21,37 a 38.
Čtvrtek
Informace : V úterý 6.4.2004 se bude psát 2. zápočtová písemka. Písemka bude obsahovat příklady odpovídající cvičebnici PI. Konkrétně se jedná o spojitost funkcí (odst. 3.2) a výpočet derivací (odst. 4.2, odst. 4.3, odst. 4.4). Nebudou zde příklady na geometrickou a fyzikální interpretaci derivace.
Přednáška :
a) Dokážeme postačující podmínku existence ostrého lokálního extrému s využitím monotónnosti funkce na okolí bodu (viz. KI, V. 5.15(I)). Tvrzení II ze zmíněné věty je pouhou kombinací tvrzení I a věty z předchozí přednášky (viz. KI, V. 5.13). Část III z věty dokážeme později z využitím Taylorova vzorce.
b) Nejdříve si ukážeme tři ekvivalentní možnosti jak definovat konvexitu funkce na intervalu.
První definice využívá pojem konvexní množiny v Euklidovských prostorech Rn a pak se funkce nazve konvexní, je-li její nadgraf konvexní množinou v prostoru RxR. Druhá definice definuje konvexitu pomocí nerovnosti, která platí mezi směrnicemi sečen grafu funkce. Třetí možností je definovat konvexitu pomocí tzv. Jensenovy nerovnosti.
Podstatné je si uvědomit, že se v těchto definicích o funkci vlastně dopředu nic nepředpokládá, např. existence vlastních derivací. Např. funkce absolutní hodnota nemá všude vlastní derivaci a je konvexní funkcí na R. Na druhé straně se dá dokázat nejlépe s využitím druhé z definic, že každá konvexní funkce má v každém bodě vlastní jednostranné derivace a ty jsou neklesajícími funkcemi. Pro bližší seznámení s touto problematikou je možné doporučit např. skripta "Matematická analýza pro učitele I " (dále jen MAU I), odstavec 7.2-konvexní funkce.
c) Zmíníme se o definici konvexity resp. konkávnosti funkce v bodě. Definice bohužel nepřímo předpokládá o funkci, že má v bodě tečnu ke grafu funkce. Pak se řekne, že funkce je v daném bodě (ryze) konvexní (resp. konkávní), pokud leží tečna ke grafu v daném bodě lokálně pod (resp. nad) grafem funkce. Viz. KI, Definice 5.6.
Problém této definice spočívá v tom, že neplatí tvrzení , které by říkalo, že funkce je na otevřeném intervalu konvexní právě když je konvexní v každém bodě. Jako příklad stačí vzít funkci absolutní hodnota.
Jako cvičení si můžete dokázat tzv. nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem (AG nerovnost) :
Věta(AG-nerovnost). Je-li x1 > 0,Ľ,
xm > 0 a l1
ł 0,Ľ, lm
ł 0, ĺili=1
Potom platí :
|
(Návod: využijte fakt, že funkce f(x)=-log x je konvexní funkcí na R+ a tzv. "Zobecněnou Jensenovu nerovnost".)
8.týden
Dokončíme 5. kapitolu o vlastnostech spojitých a diferencovatelných funkcí.
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Pročtěte si některá užitečná tvrzení hodící se např. pro vyšetřování průběhu funkcí. Jedná se o větu 5.15 (III), 5.16 a 5.17.
B) Pročtěte si definici inflexního bodu (KI, Def. 5.6 (2)). Na tomto místě je dobré připomět , že definice pojmu inflexního bodu není u různých autorů jednotná. Např. Kopáček se shoduje s Jarníkovou učebnicí DI. Naproti definice inflexního bodu uvedená v MAU I používá místo polohy grafu funkce vůči tečně pojem ryzí konkávnosti, resp. konkávnosti a říká, že funkce f má v bodě a inflexi, pokud se při přechodu přes bod a mění charakter ryzí konvexity v ryzí konkávnost nebo naopak. Tyto definice rozhodně nejsou ekvivalentní. Např. první definice uvedená v KI nepostihuje třeba příklad funkce f(x)= x^(1/3) (třetí odmocnina z x) kde a=0. V tomto bodě má tato funkce nevlastní derivaci. Na druhé straně druhá definice takové funkce jako je např. f(x)=2x^3+x^3sin(1/(x^2)) pro x různé od nuly a f(0):=0 kde a=0. Pokuste se si promyslet uvedené dva příklady.
C) Přečtěte si Větu 5.18 (2) udávající nutnou podmínku inflexe s využitím druhé derivace. Dále si přečtěte větu 5.19 která dává postačující podmínky s využitím derivací druhého nebo vyššího řádu. Povšimněme si , že tato věta také říká, že pro funkce dvakrát diferencovatelné plyne z existence inflexního bodu ve smyslu uvedeném v MAU I, že je tento bod též inflexním bodem ve smyslu definice z KI.
Přednáška :
a) Objasníme ekvivalenci dvou definic konvexity. Jedná se o definici využívající tzv. Jensenovu nerovnost a definici využívající nerovnost mezi směrnicemi sečen, tzv. "sečnová definice". (viz. též KI, poznámka 5.10).
b) Dále s využitím sečnové definice odvodíme kritéria konvexity, resp. ryzí konvexity pro diferencovatelné funkce
f:(a,b)->R s využitím derivace prvního řádu, esp. druhého řádu.
Cvičení: Budeme řešit úlohu nalézt úhel pod kterým se dvě křivky protínají. Ukážeme si jak nalézt tečnu ke křivce v daném bodě pokud je křivka dána parametrickými rovnicemi nebo je dána rovnicí v kartézských souřadnicích (viz. PI, odst. 4.2, př. 41, odst. 4.3, př. C). Nakonec předvedeme příklad na výpočet derivace prvního a druhého řádu funkce dané parametricky (viz. PI, odst 4.3).
Čtvrtek
Samostatně si prosím projděte témata :
Pročtěte si v KI odstavce 5.4 až 5.6.
Přednáška: Budeme se věnovat aproximacím diferencovatelných funkcí Taylorovými polynomy (viz. Také KI, odst. 5.7).
9.týden
úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Peanova věta (KI, V.5.22). Vraťte se k odstavci 3.15 v KI a pročtěte si tuto poznámku.
B) Úvod k teorii integrálu, KI odstavec 6.1
C) Zopakujte si tzv. l´Hospitalovo pravidlo (PI, Věta 5.1) a projděte si tamtéž řešené příklady A až E.
Přednáška:
a) Pokračujeme v tématu aprocimace polynomy. Předvedeme aproximaci přirozeného logaritmu a mocninné funkce pomocí Taylorova polynomu (viz. KI, příklady 5.23 a 5.24).
Cvičení: V první hodině se napíše zápočtová písemka. Ve druhé hodině se budeme věnovat jednak opravě napsané zápočtové písemka a jednak samostné práci na výpočtu limit pomocí l´Hospitalova pravidla.
Čtvrtek
Přednáška : Přednáška odpadla.
10. týden
Úterý
Přednáška : a) Ukážeme si tzv. lokální Taylorovu formuli (KI, Peanova věta 5.22).
b) Zavedeme pojem primitivní funkce (viz. KI, odst. 6.2), pojem neurčitého integrálu. Dokážeme důležitou větu o tom, že dvě primitivní funkce se liší pouze o konstantu (viz. KI, Věta 6.1).
Cvičení : Dokážeme diferencovatelnost tzv. Cauchyovy funkce, která je příkladem nekonečně-krát diferencovatelné funkce, která není v bodě x=0 analytická. Ukážeme způsob jak lze nalézt Taylorův polynom součinu dvou funkcí jejichž Taylorovy polynomy jsou známy s využitím zbytku v Peanově tvaru.
Čtvrtek
Samostatně si prosím projděte témata : opište si a naučte se tabulku základních primitivních funkcí (viz. KI, odst. 6.2.)
Přednáška :
a) Vyslovíme základní věty o výpočtu neurčitého integrálu a ukážeme si některé jednoduché příklady na užití (viz. KI, odst. 6.3.)
b) Předvedeme si způsob nalezení primitivní funkce k racionální funkci (viz. KI, odst. 6.4.)
11.týden
Budeme pokračovat v kapitole 6 v KI.
Úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Asymptotické chování funkcí. Viz. např. KI, idst. 3.15, PI, odst. 3.3 a eventuelně poznámku.
B) Rozklad mnohočlenů nad tělesem reálných čísel, dělení mnohočlenu mnohočlenem.
C) Přečtěte si poznámku o aplikaci první a druhé substituční metody, (viz. PI, Poznámka 7.3.)
Přednáška : a) Budeme pokračovat v tématu integrace racionálních funkcí, viz. KI, odst. 6.4.
b) Podle časových možností se budeme věnovat i dalším typům neurčitých integrálů jak je uvedeno v KI, odst. 6.5.
Cvičení : Budeme se věnovat dále tématu aproximace funkcí Taylorovými polynomy. Dále spočítáme nějaké příklady na asymptotické chování funkcí, PI, odst. 3.3.
Čtvrtek
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Pročtěte si odstavec 6.5 v KI, kde jsou uvedeny další příklady důležitých substitucí.
B) Samostatně si propočítejte pár příkladů na asymptotické chování funkcí, PI, odst. 3.3.
Přednáška :
Zavedeme Riemannův integrál a uvedeme základní vlastnosti Riemannova integrálu.
Ukážeme tzv. teleskopický trik a jeho využití pro sčítání jistého typu řad.
12.týden
Budeme pokračovat v kapitole 6 v KI.
Úterý
Přednáška:
a) Spočítáme si některé konkrétní integrály jako např. integrál z funkce g(x)=x apod.
b) Dokážeme si některé nutné a postačující podmínky existence Riemannova integrálu jako je Cauchyova podmínka nebo věta o sevření.
Cvičení: Budeme počítat příklady na průběh funkcí (viz. PI, odst. 6.1 až 6.3).
Informace:
3. zápočtová písemka se napíše 4.5.2004 na cvičení. Bude obsahovat příklady z PI, odstavce : 3.3, 5.1, 5.2, 6.2 a 6.3.
Tento čtvrtek se omlouvám, ale nebudu moci zkoušet jak jsem slíbil !!!
Čtvrtek
Přednáška:
a) Zformulujeme a dokážeme větu o aditivitě R-integrálu (viz také KI, Věty 6.11 a 6.12, důkazy využívají na rozdíl od nás tzv. dolní a horní integrální součty).
b) Ukážeme, že na existenci ani hodnotu R-integrálu nemají vliv funkční hodnoty funkce v konečně mnoha bodech daného intervalu (opět alternativní důkaz ovšem využívající tentokrát Riemannovy integrální součty najdete u V. 6.13.)
c) Zavedeme pojem schodovité funkce (step function), regulované funkce a ukážeme, že tyto funkce jsou R-integrabilní.
Poznámka. Je možné dokázat následující charakterizaci regulární funkce : funkce f je na intervalu <a,b> právě když má v každém bodě tohoto intervalu vlastní jednostranné limity.
Pak odsud jednoduše plyne, že každá spojitá funkce a každá monotónní funkce na <a,b> jsou zde regulovanými funkcemi a tudíž jsou zde R-integrabilní. Ovšem zkuste si dokázat přímo, že každá funkce , která je spojitá na omezeném uzavřeném intervalu je zde již regulovaná.
13. týden
Pokračujeme v kapitole 6. z KI
Úterý
Samostatně si prosím projděte témata :
A) Průběhy funkcí : projděte si v odstavci řešené příklady B, C a D (zvlášť zajímavý je příklad , kde se vyšetřuje průběh funkce , která je zadána parametricky. Tady se bude hodit znalost výpočtu derivací parametricky zadaných funkcí).
B) Zopakujte si dvě základní metody výpočtu neurčitého integrálu. Tj. metodu integrování per partes a substituční metodu.
C) Promyslete si samostatně dvě důležité vlastnosti R-integrálu : monotónnost a absolutní konvergenci. Tyto vlastnosti jsou obsahem vět 6.9 a 6.10 v KI.
D) Podívejte se na důkaz integrability monotónní funkce (KI, V. 6.15) a promyslete si jak by podobným způsobem šlo postupovat , kdybychom použili naši větu o sevření (jak bychom pak definovali funkce je , ye ?)
Přednáška:
a) Ukážeme si proč je spojitá funkce regulovaná a potažmo je R-integrabilní. Dále si předvedeme na základě věty o sevření proč je monotónní funkce R-integrabilní (viz bod D výše.) Ve skriptech KI (Věta 6.14) je dokázáno více : je-li funkce f omezená na daném intervalu a spojitá ve všech bodech s vyjímkou nejvýše konečně mnoha bodů, pak je na tomto intervalu R-integrabilní. Na druhé straně existují funkce, které jsou nespojité v nekonečně mnoha bodech daného intervalu a přesto jsou na tomto intervalu integrabilní. Úplnou charakterizaci třídy riemannovsky integrabilních funkcí podává až známá Lebesgueova věta.
b) Dokážeme fundamentální větu integrálního počtu (viz. KI, odstavec 6.10). Konkrétně dokážeme dva výsledky. První je o spojitosti funkce s proměnnou horní mezí a druhý je o diferencovatelnosti funkce s proměnnou horní mezí. (Tato funkce se někdy také nazývá neurčitým Riemannovým integrálem).
Cvičení : První hodinu napíšeme písemku. Druhou hodinu bychom věnovali výpočtu neurčitého integrálu.
Čtvrtek
Samostatně:
A) Projděte si některé další zajímavé vlastnosti Riemannova integrálu jako jsou absolutní konvergence (KI, Věta 6.10) a monotónnost R-integrálu (viz. KI, 6.9.)
Přednáška:
a) Dokážeme tzv. Newton-Leibnizovu větu (Newtonův vzorec- KI, Věta 6.19).
b) Ukážeme některé důsledky fundamentální věty integrálního počtu. Jsou to zejména věta o integrování per partes a věta o substituci (viz. KI, odstavec 6.11).
c) Spočítáme několik jednoduchých příkladů na Newtonův vzorec a příklady kdy nejde okamžitě použít tento vzorec (přesněji větu 6.19).
14.týden
Úterý
Samostatně : Projděte si téma zobecněný Riemannův integrál (KI, odst. 6.13).
Přednáška:
a) Doplníme ještě nějaký příklad na výpočet určitého integrálu.
b) Věty o střední hodnotě integrálního počtu a jejich použití.
Cvičení : Budeme pokračovat ve výpočtu neurčitého integrálu.
Čtvrtek
Samostatně:
A) Projděte si Příklad 6.19 v KI. Další příklady na použití vět o střední hodnotě naleznete ve cvičebnici PI, odstavec 8.3.
B) Samostatně si prostudujte definici tzv. zobecněného Riemannova integrálu (někdy též nazývaného nevlastní Riemannův integrál) a to v KI, odstavec 6.13 a ve cvičebnici PI odstavec 8.4.
Přednáška:
a) Ukážeme si jednu aplikaci (integrální kritérium konvergence) zobecněného Riemannova integrálu na vyšetřování konvergence číselné řady.
b) Ukážeme si některé aplikace Riemannova integrálu v geometrii. Viz. skripta KI, odstavec 6.14 a cvičebnice PI, odstavec 8.2. Kromě jiných aplikací určitého integrálu má velký význam výpočet délky křivky.