Plán práce na 4. semestr, 04/05

V tomto semestru budeme prakticky výhradně pracovat s učebnicemi :

[KI] Kopáček Jiří, Matematická analýza pro fyziky I, Matfyzpress, Praha ,1997, 2004.

[PI]  Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky I.,Matfyzpress, Praha, 2002.

[KII] Kopáček Jiří, Matematická analýza pro fyziky I, Matfyzpress, Praha ,1998.

[PII]  Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky I.,Matfyzpress, Praha, 1996.

Jako doplňkovou literaturu budu používat klasické učebnice :

[I1] Jarník Vojtěch, Integrální  počet I, Academia, Praha.

[DII]  JarníkVojtěch, Diferenciální počet II, Academia, Praha.

[Ja]  JarníkVojtěch , Matematická analýza pro 3. semestr, skripta MFF UK, Praha, 1965.

[Za]  Zajíček Luděk, Vybrané partie z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník, Matfyzpress , Praha (nebo http://adela.karlin.mff.cuni.cz/~zajicek/skripta.1.html) .

[MAU]  Veselý Jiří, Matematická analýza pro učitele, 2 díly, Matfyzpress, Praha, 1997.

[KP] Kosmák Ladislav, Potůček Radovan, Metrické prostory, Academia, Praha, 2004.

[Dě] Děmidovič Boris Pavlovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003.

[Fil] Filipov A.F. , Sbornik zadač po diferencialnym uravněnijam, Nauka, Moskva, 1985 (rusky).

Texty o diferenciálních rovnicích v postscriptu najdete také v mém adresáři v ukázkách :

H:\UKAZKY\Bednarik\analyza\texty\difrovnice

Zmíněné publikace od Jiřího Kopáčka a další publikace najdete na www stránkách vydavatelství Matfyzpress : http://www.mff.cuni.cz/fakulta/mfp/ , kde je také kontakt pro případnou objednávku .

1.týden

Budeme probírat : Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6)

Samostatně si prosím projděte témata :

A)  Úvod k teorii integrálu, KI odstavec 6.1

B)  Zopakujte si pojem primitivní funkce.

C) Zopakujte si definici a základní vlastnosti Newtonova integrálu.

Přednáška:

Uvedeme definici neurčitého integrálu : KI, kap. 6, odst. 6.2. Dále dokážeme některé základní vlastnosti neurčitého integrálu (linearita apod.) a základní věty o výpočtu neurčitého integrálu a ukážeme si některé jednoduché příklady na užití (viz. KI, odst. 6.3.)

Cvičení :  Seznámíme se s racionálními funkcemi a provedeme nácvik rozkladu na parciální zlomky což je nutné znát pro integraci racionálních funkcí. Náznak metody najdete např. v KI, odstavec 6.4. Podrobnější výklad naleznete např. v [I1, kapitola IV].  Projdeme příklady  6.8 v KI a příklady ze cvičebnice PI : př. E, 19 v 7. kapitole.

2.týden

Budeme probírat : Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6)

Samostatně si prosím projděte témata :

A)  Dělení mnohočlenu mnohočlenem.

B)  Opište si a naučte se tabulku základních primitivních funkcí (viz. KI, odst. 6.2.)

C) Rozklad mnohočlenů nad tělesem reálných čísel, dělení mnohočlenu mnohočlenem.

D) Přečtěte si poznámku o aplikaci první a druhé substituční metody, (viz. PI, Poznámka 7.3.)

Přednáška : 

Rektorské volno.

Cvičení :

Ukážeme si jak se integrují zlomky prvního a druhého druhu obecně  (KI, odst. 6.4.)  Budeme počítat příklady  KI, př. 6.8, PI, př. D a E.

 3. týden

Budeme probírat : Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6)

Samostatně si prosím projděte témata :

A) Propočítejte si sami některé další příklady v PI na integraci racionálních lomených funkcí.

B) Zamyslete se nad ověřením předpokladů ve větě o substituci, kterou jsme několikrát použili při integraci parciálních zlomků!

Přednáška : 

Nejdříve si ukážeme, pokud umíme nějakým způsobem měřit plochu pod grafem nezáporné spojité funkce f (x), potom je velikost plochy rovna funkční hodnotě primitivní funkce k funkci f(x). Riemannův integrál je odpovědí na problém konstruktivní definice míry pod grafem omezené a ne nutně všude spojité funkce.   Ukážeme si nejdříve tzv. Darbouxovu  definici určitého integrálu, která podstatným způsobem využívá uspořádání na množině reálných čísel. Viz. KI, odst. 6.6. Dále dokážeme nutnou a postačující podmínku pro existenci Riemannova interálu ve formě lemmatu 6.4.(důkaz lemmatu dokončíme na příští přednášce.)

Cvičení :

Zkusíme aplikaci dalších substitucí zejména goniometrických :  KI, př. 6.9 a 6.10, PI, kap. 7.  Podle časových možností procvičíme některé další typy substitucí , viz KI, odst. 6.5. př. 6.11.

 4.týden

Budeme probírat : Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6)

Samostatně si prosím projděte témata :

A) Stejnoměrná spojitost funkce, Cantorova věta o stejnoměrné spojitosti -viz. KI, věta 5.8.

B) Věta o nabývání maxima a minima - viz. KI, věta 5.6.

C) Vyšetřete spojitost tzv. Riemannovy funkce- viz. PI, kap. 3, př. 115.

Přednáška : 

Dokončíme důkaz lemmatu (Lemma 6.4. v KI). Ukážeme, že všechny spojité funkce mají na intervalu Riemannův integrál. Dále zavedeme určitý integrál dle Riemannovy definice a něco si řekneme o vztahu těchto dvou definic.

Cvičení :

Spočítáme : př. G v PI, kap.7. Dále si ukážeme použití tzv. Eulerových substitucí, viz.KI, odst.6.5 (př.  6.12).

 5.týden

Budeme probírat :  Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6)

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška : Vlastnosti integrálu (viz. KI, odst. 6.8). Bude to zejména linearita integrálu (KI, V.6.8.), monotónnost integrálu (KI, V. 6.9), absolutní spojitost integrálu (KI, V.6.10).

Cvičení : Vrátíme se k příkladu PI, kap. 7, př.G a vysvětlíme si na něm použití 1. substituční metody a druhé substituční metody. Dále si předvedeme použití hyperbolických a trigonometrických substitucí na integrály obsahující výrazy a^2-x^2, x^2+a^2, x^2-a^2. Jedná se o substituce x=a cosh t, x=a sinh t, x=a cos t, x=a cos t. 

 6.týden

Budeme probírat :  Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6)

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška : Dokážeme větu o aditivitě R-integrálu (KI, V. 6.11) s využitím omega-podmínky (tj. s využitím pojmu oscilace funkce na množině).  Zformulujeme si a částečně dokážeme nutnou a postačující podmínku existence R-integrálu  (tzv. omega-podmínka), dále dokážeme větu 6.12 z KI a větu o integrabilitě součinu funkcí taktéž s využitím omega-podmínky.

Cvičení : Ještě se vrátíme k technice slepování primitivních funkcí.  Budeme mimo jiné počítat příklad ze cvičebnice PI, cvičení 64 na konci 7. kapitoly nebo integrál $\int |x|dx.$ +Řekneme si co to jsou derivo-periodické funkce.  Na 8. týden máme naplánovanou 1. zápočtovou písemku na výpočet neurčitého integrálu.

Domácí úkol : 

a)  (Farkasova věta) Dokažte, že pokud má funkce F(x) spojitou derivaci  F'(x), která je periodická s periodou  T>0 , potom je možné vyjádřit funkci F jako součet T-periodické funkce a funkce lineární.

b)  Dokažte si cvičení na oscilaci funkce z přednášky.

c)  Podívejte se do Jarníkovi učebnice I1 na věty 17 a 19 a s jejich pomocí se pokuste dokázat nutnost omega-podmínky pro existenci R-integrálu.

d)  Pokuste si samostatně dokázat postačitelnost omega-podmínky v případě, že pracujeme s komplexní funkcí.

 7.týden

Informace:  Pokud bude někdo chtít dodělat zkoušku z předmětů MA1 nebo MA2 přímo u mne, bude se muset domluvit s vyučujícím, který v současné době tyto předměty vyučuje. Uznání zápočtu u předmětů , které si zapíšete podruhé není automatické!

Budeme probírat :  Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6)

Samostatně si prosím projděte témata :

a) Věty o střední hodnotě - KI, odst.6.12.

b) Definice Riemannova zobecněného integrálu - KI, odst. 6.13.

c) Pročtěte si informativně odstavec 8.1 ve cvičebnici PI pro pochopení výpočtů, ketré budeme provádět na cvičení.

Přednáška : Hlavním úkolem bude dokázat tzv. fundamentální větu integrálního počtu (KI, V. 6.17 a 6.18).Jako aplikaci fundamentální věty integrálního počtu, resp. Newton-Leibnizova vzorce dokážeme verze vět o integraci metodou per partes a substituční metodou (KI, Věty 6.20 a 6.21). Větu 6.21 můžeme považovat za analogii tzv. 1. věty o substituci pro neurčité integrály. V poznámce (KI, pozn. 6.13) najdeme analogii s tzv. 2. větou o substituci pro neurčité integrály.

Cvičení : Zaměříme se na využití vět o integraci per partes a substituční metodou. Projdeme si příklady A,B,C a D ze cvičebnice PI.

Domácí úkol : 

 8.týden

Informace:  

Budeme probírat :  Primitivní funkce, Riemannův integrál, Newtonův integrál (KI, kap. 6) , Obyčejné diferenciální rovnice (KII, kapitola 7).

Samostatně si prosím projděte témata :

a) KI, odstavec 6.13. Zobecněný Riemannův integrál

b) KI, odstavec 6.14. Aplikace integrálu. Podívejte se na poznámku o délce křivky.

Přednáška : 

a)  Věty o střední hodnotě integrálního počtu a příklady na užití.

b) Úvod k diferenciálním rovnicím-definice. Některé typy diferenciálních rovnic prvního řádu : y'=f(x), y'=g(y).

Cvičení : Zápočtová písemka.

Domácí úkol : 

 9.týden (15.11.-21.11.)

Informace:  

Budeme probírat :  Obyčejné diferenciální rovnice (KII, kapitola 7).

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška : 

a) dokončíme řešení rovnice y'=g(y).

b) naznačíme řešení rovnice se separovanými proměnnými, viz. KII, 7.3(3), event. PII , 1.2., dále budeme řešit tzv. homogenní dif. rovnice, viz. KII, 7.3(4), PII, 1.3.

Cvičení : Ukážeme si použití určitého integrálu pro výpočty obsahů některých speciálních typů množin v rovině.

Domácí úkol : 

 10.týden (22.11.-27.11.)

Informace:  

Budeme probírat :  Obyčejné diferenciální rovnice (KII, kapitola 7).

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška : 

a) Lineární diferenciální rovnice prvního řádu, metoda variace konstanty a metoda integračního faktoru.

b) Uvedeme tzv. existenční větu.

c) Úvod k lineárním diferenciálním rovnicím vyššího řádu než jedna.  

Cvičení : Užití určitého integrálu - výpočet délky křivky.

Domácí úkol : 

 11.týden (29.11.-5.12.)

Informace:  příští týden si napíšeme druhou zápočtovou písemku na určité integrály!

Budeme probírat :  Obyčejné diferenciální rovnice (KII, kapitola 7).

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška : 

a) Hledání obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu.

b) Uvedeme tzv. existenční větu.

c) Metoda variace konstant k nalezení partikulárního řešení nehomogenní rovnice.

Cvičení : Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

Domácí úkol : 

 12.týden (6.12.-12.12.)

Informace:  

Budeme probírat :  Obyčejné diferenciální rovnice (KII, kapitola 7).

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška :  Vlastnosti fundamentálního systému řešení homogenní lineární diferenciální rovnice. Metoda variace konstant. Obecné řešení nehomogenní lineární rovnice.

Cvičení : 2. zápočtová písemka. Ve zbytku budeme řešit rovnici se separovanými proměnnými  x^2+y^2-2xy y'=0.

Domácí úkol : 

12.týden (13.12.-19.12.)

Informace:  

Budeme probírat :  Obyčejné diferenciální rovnice (KII, kapitola 7).

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška :  Reálný fundamentální systém řešení, kritérium pro existenci reálného řešení lin. diferenciální rovnice.

Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty - charakteristický polynom a jeho vlastnosti, transformace charakteristického polynomu, transformace diferenciálního operátoru L(y).

Cvičení :

A) Lineární rovnice prvního řádu: 

1)y'+2xy=x

2) xy'-2y=2x^4 [Filipov, př. 136]

B)  Existence řešení.

Věta (Filipov, §7). Uvažujme diferenciální rovnici

                                         y' = f(x,y)                                                 (1)

Nechť na uzavřeném obdélníku  R = <x_0-a,x_0+a> x <y_0-b,y_0+b> jsou funkce f a f'_y spojité. Pak na nějakém podintervalu <x_0-d,x_0+d>  intervalu <x_0-a,x_0+a> existuje jediné řešení rovnice (1) splňující počáteční podmínku y(x_0) = y_0.

Zde je možno položit d : = min {a; b/m}, kde a,b jsou čísla zvolená výše a číslo m je takové, že na obdélníku R platí | f | je menší nebo rovno číslu m.

V předchozí větě symbol f'_y označuje parciální derivaci funkce f podle proměnné y  :

f'_y (x,y): =  lim _h-->0  [f ( x, y+h) - f(x,y)] / h

Příklad (Filipov, př. 223 a ). Najděte nějaký interval na němž existuje právě jedno řešení uvedené rovnice a vyhovující dané počáteční podmínce :

y' = x + y^3,  y(0) = 0.

C) Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu než jedna :

Příklad :  y'' - y'/x = 1/x^2.

Domácí úkol :  Prostudujte si pojem limity a spojitosti funkce více reálných proměnných - KII, odstavec  8.4 a pojem parciální derivace funkce -  KII, odstavec 9.1.  Také lze nahlédnout do Zajíčkových skript - viz  link nahoře.

13.týden (20.12.-26.12.)

Informace:  

Budeme probírat :  Obyčejné diferenciální rovnice (KII, kapitola 7).

Samostatně si prosím projděte témata :

Přednáška :  Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty - konstrukce fundamentálního systému, reálný fundamentální systém, rovnice se speciální pravou stranou.

Cvičení :

A) Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty :

1) y'' + y' - 2y = 0 [Fil, 511],

2) y^IV -y = 0  [Fil, 519]

3)  y^(6)+4y^(5)+8y^(4)+8y^(3)+4y'' = 0  [Ja, str.  48]

B)  Nehomogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty :

4) y'' + y' - 2y = 3x e^x [Fil, 536]

Domácí úkol :  Prostudujte si pojem limity a spojitosti funkce více reálných proměnných - KII, odstavec  8.4 a pojem parciální derivace funkce -  KII, odstavec 9.1.  Také lze nahlédnout do Zajíčkových skript - viz  link nahoře.