1. definice klíčového pojmu (0 b.);
2. 4 příklady (4x5b.= 20b. celkem);
3. definice (2b.);
4. formulace věty bez důkazu (2 body);
5. formulace a důkaz lehké věty (2+4b.);
6. formulace a důkaz těžké věty (2+8b.).

K celkovému hodnocení známkou velmi dobře je třeba správně napsat definici klíčového pojmu, získat celkem alespoň 31 bodů a z toho minimálně 10 bodů z praktické části a minimálně 10 bodů z teoretické části.

K celkovému hodnocení známkou dobře je třeba správně napsat definici klíčového pojmu a získat alespoň 10 bodů z praktické části a 10 bodů z teoretické části.

Matematická analýza 1

Seznam klíčových pojmů.

• Pojem zobrazení množiny A do množiny B.
• Pojem posloupnosti.
• Pojem vybrané posloupnosti.
• Pojem metrického prostoru.
• Pojem konvergentní posloupnosti.
• Pojem fundamentální neboli Cauchyovské posloupnosti.
• Pojem (nekonečné) číselné řady.

Seznam požadovaných definic.

• Uspořádání reálných čísel.
• Pojem omezené množiny.
• Definice supréma a infima.
• Vzájemně jednoznačné zobrazení množiny A na množinu B.
• Definice ekvivalence dvou množin.
• Spočetná množina.
• Omezené, resp. neomezené množiny.
• Pojem komplexního čísla a zavedení základních aritmetických operací s komplexními čísly.
• Argument komplexního čísla, goniometrické vyjádření komplexních čísel.
• Pojem skalárního součinu a euklidovské metriky v prostoru Rn.
• Pojem okolí v metrickém prostoru (ilustrace na konkrétních metr. prostorech.)
• Otevřené a uzavřené množiny.
• Limitní (hromadný) bod množiny a posloupnosti.
• Uzávěr a hranice množiny.
• Omezená posloupnost.
• Nekonečně malá posloupnost a posloupnost s nevlastní limitou.
• Definice horní a dolní limity posloupnosti.
• Řady se střídavými znaménky.
• Cauchyův součin řad.

Věty bez důkazu

• Archimédův princip.
• Věta o existenci supréma.
• Věta o hustotě racionálních čísel.
• Zavedení čísla e jako součtu jisté číselné řady.
• Zavedení čísla e jako limity jisté posloupnosti.
• Riemannova věta o přerovnání neabsolutně konvergentních řad.
• Věta o přerovnání absolutně konvergentní řady.
• Věta o konvergenci Cauchyova součinu řad.

Lehké věty

• Věta o spočetnosti množiny racionálních čísel.
• Věta o nespočetnosti množiny reálných  čísel.
• Moivreova poučka a její odvození.
• Problém konvergence posloupnosti a_n:=1/n.
• Věta o jednoznačnosti limity posloupnosti.
• Vztah mezi konvergencí a omezeností posloupnosti.
• Základní věta o výpočtu limity posloupnosti (V.3.3).
• Věta o limitním přechodu v nerovnosti (V. 3.4).
• Věta o vztahu mezi konvergencí a monotónností posloupnosti (V.3.5).
• Vztah mezi nekonečně malými posloupnostmi a posloupnostmi s nevlastními limitami (V.3.7).
• Lemma o vložených intervalech (V.3.10).
• Vztah mezi fundamentálností a omezeností posloupnosti (V.3.13).
• Cauchova podmínka konvergence číselné řady.
• Problém konvergence harmonické řady.
• Vztah mezi absolutní konvergencí a konvergencí řady.
• Srovnávací kritérium pro konvergenci řad.

• Cauchy-Buňakovského nerovnost a její důkaz.
• Bolzano-Weierstrassova věta (V.3.11).
• Cauchyovo kritérium konvergence posloupnosti (V.3.14).
• Leibnizovo kritérium konvergence řady.
• Podílové kritérium konvergence řady (limitní a nelimitní forma).
• Odmocninné kritérium konvergence řady (limitní a nelimitní forma).

Literatura

1. V.Jarník, Diferenciální počet I, Academia, Praha, 1984.
2. V.Jarník, Diferenciální počet II, Academia, Praha, 1976.
3. J.Milota, Matematická analýza I, SPN, Praha, 1984 (skripta).
4. I. Rachůnková, Matematická analýza-metrické prostory, Olomouc, 1987 (skripta).
5. J.Veselý, Matematická analýza pro učitele, Matfyzpress, Praha, 1997.
6. L.Zajíček, Vybrané partie z matematické analýzy pro 2.ročník, Matfyzpress, viz  http://www.mff.cuni.cz/fakulta/mfp/mp2002pl.htm,  předběžná verze je zde.

Matematická analýza 2

Seznamy požadovaných vět, definic a klíčových pojmů

Seznam klíčových pojmů.

• epsilon-delta definice limity a spojitosti funkce

• základní vlastnosti exponenciální funkce + graf  (viz KI, Definice 3.19 a Věta 3.27)

• základní vlastnosti logaritmické funkce + graf  (viz KI, Definice 3.20 a Věta 3.28)

• polynom, racionální funkce (3.13 z KI)

• definice derivace funkce a její geometrickou a fyzikální interpretaci. (KI, kap.4., odst. 4.1.)

• konvexní funkce jedné proměnné na intervalu

• Taylorův polynom

• pojem primitivní funkce (viz. KI, odst. 6.2)

• neurčitý integrál

• Riemannova definice určitého integrálu

• Darbouxova definice určitého integrálu

Seznam požadovaných definic.

• definice funkce reálné i komplexní, graf funkce (KI, odst. 3.1)

• složená, prostá a inverzní funkce (KI, odst. 3.2)

• omezené funkce (KI, odst. 3.3)

• monotónní funkce (KI, Def. 3.16)

• definice trigonometrických funkcí využívající jednotkové kružnice

• hyperbolické funkce (viz. odst. 3.12 v KI)

• definice symbolů "malé o" a "velké O"

• definice derivací vyšších řádů

• lokální a globální extrém funkce

• zavedení komplexní exponenciály  viz. KI, Př. 4.8

• definice tzv. stejnoměrné spojitosti funkce f na intervalu I

• definice inflexního bodu (KI, Def. 5.6 (2))

• schodovité a regulární funkce

• zobecněný Riemannův integrál (viz. KI, odstavec 6.13)

• pojem rektifikovatelné křivky a její délky (viz. KI, odstavec 6.14), nebo se podívejte na tuto poznámku.

Věty bez důkazu

• Věta o derivaci inverzní funkce.

• Leibnizův vzorec pro derivování součinu dvou funkcí (viz. KI, V.4.6)

• Cantorova věta stejnoměrné spojitosti (dejte konkrétní příklady !)

• l´Hospitalovo pravidlo

• Užití derivací k vyšetřování průběhu funkcí (viz. KI, V. 5.15, 5.18, 5.19)

• Pojem vertikální asymptoty a asymptoty v nekonečnu viz. KI, odstavec 5.4

• Peanova věta o lokální aproximaci diferencovatelné funkce Taylorovým polynomem

• Nutné a postačující podmínky pro existenci R-integrálu (viz přednáška : Cauchyova podmínka, věta o sevření)

• Newton-Leibnizův vzorec (uveďte nějaké příklady nelze použít tento vzorec)

• 2. věta o střední hodnotě integrálního počtu (viz. KI, Věta 6.24)

• Bonnetova věta o střední hodnotě integrálního počtu (viz. KI, Důsledek 6.2)

Lehké věty

• Dokažte, že má-li funkce v bodě vlastní limitu, pak je na jistém okolí tohoto bodu omezená.

• Dokažte, že neexistuje limita lim_{x® 0}sin(1/x)

• Věta o limitním přechodu v nerovnosti - viz. KI, V.3.15

• Dokažte, že existuje limita lim_{x® 0}x sin(1/x) 

• Věta o limitě (spojitosti) složené funkce.

• Věta o vztahu mezi existencí derivace v bodě a spojitostí v bodě

• Odvoďte vzorec pro derivaci podílu funkcí

• Dokažte vzorec pro derivaci : (sinx)˘=cosx 

• Objasněte pojem diferenciálu a jeho vztah k derivaci funkce (viz. KI, odst. 4.5)

• Odvoďte vzorec pro derivování parametricky zadané funkce na základě věty o derivování inverzní funkce

• Dokažte tzv. Fermatovu větu o vztahu lokálního extrému a derivace funkce v bodě (viz. KI, Věta 5.3)

• Lagrangeova věta  o přírůstku (geometrický smysl !)

• Věta o integraci "per partes" pro neurčitý integrál

• 1. věta o substituci pro neurčitý integrál

• 2. věta o substituci pro neurčitý integrál

• Dokažte, že každá spojitá funkce na kompaktím intervalu je zde regulovaná.

• Dokažte integrabilitu regulovaných funkcí

• Dokažte na základě věty o sevření integrabilitu monotónní funkce

• Věta o integraci "per partes" pro určitý integrál

• 1. věta o substituci pro určitý integrál

• 2. věta o substituci pro určitý integrál

• 1. věta o střední hodnotě integrálního počtu (viz. KI, Věta 6.23)
  
   

Těžké věty

• Heineova věta (viz. K1, odst. 3.5, Věty 3.2 a, 3.2b)

• Bolzano-Cauchyova podmínka (Věta 3.17)

• Dokažte, že lim_{x® 0}(e^x-1)/x=1 

• Dokažte, že lim_{x® 0}sinx/x=1

• Věta o derivaci složené funkce.

• Weierstrassova věta o nabývání maxima a minima spojité funkce na kompaktním intervalu

• Bolzanova věta o mezihodnotě (viz. KI, V.5.7)

• Rolleova věta

• Taylorova věta o zbytku v Taylorově vzorci (odvoďte též Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku)

• Dokažte větu o spojitosti funkce definované jako integrál s proměnnou horní mezí :   F_a(x)=ň_a^x f(t)dt 

• Věta o diferencovatelnosti funkce definované jako integrál s proměnnou horní mezí :   F_a(x)=ň_a^x f(t)dt 
   

Literatura

[KI] Kopáček Jiří, Matematická analýza pro fyziky I, Matfyzpress, Praha ,1997.

[PI]  Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky I.,Matfyzpress, Praha, 2002.

Matematická analýza 3

Seznam klíčových pojmů.

• Pojem (nekonečné) číselné řady a její konvergence.
• Pojem absolutně konvergentní číselné řady.
• Pojem funkční posloupnosti a funkční řady.
• Pojem bodové konvergence funkční posloupnosti resp. řady.
• Pojem stejnoměrné konvergence funkční posloupnosti resp. řady.
• Pojem mocninné řady s reálnými resp. komplexními členy.

Seznam požadovaných definic.

• Funkce konvexní v bodě a na otevřeném intervalu.
• Definice inflexního bodu.
• Asymptoty grafu funkce.
• Primitivní funkce.
• Newtonův integrál (základní i zobecněná definice).
• Řady se střídavými znaménky.
• Pojem Cauchyova součinu řad.

Věty bez důkazu

• Riemannova věta o přerovnání neabsolutně konvergentní řady.
• Abelovo kriterium konvergence.
• Dirichletovo kritérium konvergence.
• Základní vlastnosti Newtonova integrálu.
• Monotónnost N-integrálu.
• Zobecněná věta o střední hodnotě integrálního počtu.
• Věta o spojitosti limity funkční posloupnosti resp. součtu funkční řady.
• Věta o konvergenci a součtu Cauchyova součtu řady.

Lehké věty

• Kritérium pro existenci inflexního bodu.
• Kritérium pro existence asymptoty s vlastní směrnicí.
• Cauchyova podmínka konvergence číselné řady.
• Problém konvergence harmonické řady.
• Vztah absolutní konvergence a konvergence číselné řady.
• Srovnávací kritérium konvergence.
• Věta o střední hodnotě integrálního počtu.
• Cauchyova podmínka stejnoměrné konvergence funkčních posloupností resp. řad.
• Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady (W. M-test.)

Těžké věty

• Kritérium konvexity funkcí.
• Leibnizovo kritérium konvergence řady.
• Podílové kritérium konvergence řady (limitní a nelimitní forma).
• Odmocninné kritérium konvergence řady (limitní a nelimitní forma).
• Věta o přerovnání absolutně konvergentní řady.
• Integrální kritérium konvergence číselné řady (viz cvičení).
• Věta o záměně limity a sumace. (analogicky věta o záměně limity funkce a posloupnosti).
• Věta o derivování funkční posloupnosti resp. řady člen po členu.
• Integrální tvar tvar zbytku v Taylorově formuli a jeho odvození.
• Cauchy-Hadamardova věta o konvergenci mocninné řady na konvergenčním intervalu.
• Zavedení exponenciály komplexní proměnné a důkaz vzorce exp(z_1+z_2)=exp(z_1)exp(z_2).

Literatura

1. V.Jarník, Diferenciální počet I, Academia, Praha, 1984.
2. V.Jarník, Diferenciální počet II, Academia, Praha, 1976.
3. J.Milota, Matematická analýza I, SPN, Praha, 1984 (skripta).
4. J.Veselý, Matematická analýza pro učitele, Matfyzpress, Praha, 1997.