Transformace náhodné veličiny

Uvažujme náhodnou veličinu $X$ a borelovskou funkci $g:\mathbb R\to\mathbb R$. Potom lze uvažovat funkci $Y = g(X).$ Otázkou je, zda-li je funkce (Y) náhodnou veličinou. Nicméně, protože funkce (g) je borelovskou funkcí, je vzor (g^{-1}(B)) každé borelovské množiny (B\subset\mathbb R) opět borelovskou podmnožinou (\mathbb R.) Tudíž je kompozice (Y=g(X)) náhodnou veličinou. K tomu, aby byla funkce (g) byla borelovskou funkcí stačí ověřit například, že je (g) spojitou funkcí.

Nyní rozlišme dva případy:

(a) $X$ je diskrétní n.v.

(b) $X$ je spojitá náhodná veličina.

(a) Pokud $F_Y(y)$ označuje distribuční funkci náhodné veličiny $Y$, pak máme: \begin{equation}\label{eq: 1} F_Y(y) = \sum_{g(x_i)<y}P(\{X=x_i\}). \end{equation}

(b) Předpokládejme, že $f_X$ je hustota n.v. $X$. Dále předpokládejme, že funkce (g) je rostoucí funkcí a v každém bodě má tato funkce nenulovou derivaci. Odtud vyplývá, že (x_1 < x_2\implies y_1 < y_2.) \begin{equation}\label{eq: 2} F_Y(y) = P(Y\le y) = P(X \le g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y)). \end{equation} Nyní se hustota pravděpodobnosti (f_Y) n.v. (Y) vypočítá následujícím způsobem: \begin{equation}\label{eq: 3} f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}F_X(g^{-1}(y)) = f_X(g^{-1}(y))\cdot[g^{-1}(y)]'. \end{equation}

V případě, kdy je funkce (g) klesající funkcí, dostaneme: \begin{equation}\label{eq: 4} f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\cdot\left|[g^{-1}(y)]'\right|. \end{equation}

Poznamenejme, že vzorec (\ref{eq: 4}) lze využít pro oba případy, kdy je funkce (g) ryze monotónní funkcí.

Příklady

Uvažujme funkci [ f(x) = \begin{cases} k, \ \ \ \text{ pro } x\in (1,2)\\ 0, \ \ \ \text{ pro } x\notin (1,2). \end{cases} ] Dále nechť (g(x) = (x - 1)(x - 2).) Najděme předpis složené funkce (h(x) = f(g(x)).)

Řešení.

Hledejme, pro jaké (x) platí: (g(x) \in (1,2).)

In [144]:
import sympy as sym
from IPython.display import display, Math
x = sym.symbols('x')
g = (x - 1) * (x -2)
In [143]:
display(sym.solve(1 < g))
$\displaystyle \left(-\infty < x \wedge x < \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} < x\right)$
In [131]:
display(sym.solve(g < 2))
$\displaystyle 0 < x \wedge x < 3$

Tedy (g(x)\in (1,2)\iff x\in (0,3)\cap [(-\infty, (3 - \sqrt{5})/2)\cup ((3+\sqrt{5})/2,\infty)].)

In [127]:
display(sym.solve(sym.S([g > 1, g < 2]), x))
$\displaystyle \left(0 < x \wedge x < \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \vee \left(x < 3 \wedge \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} < x\right)$

Tedy řešením soustavy nerovností: \begin{equation} 1 < (x - 1)(x -2) < 2 \end{equation} je množina ((0, \frac{3-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{3 + \sqrt{5}}{2},3).) Napišme tedy předpis složené funkce: [ f(g(x))= \begin{cases} k, \ \ \ \text{ pro } x\in (0, \frac{3-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{3 + \sqrt{5}}{2},3) \\ 0, \ \ \ \text{ pro } x\notin (0, \frac{3-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{3 + \sqrt{5}}{2},3). \end{cases} ]

Příklad 1

Najděme hustotu pravděpodobnosti n.v. (Y = e^X,) pokud n.v. (X) má hustotu pravděpodobnosti: [f_X(x) = \begin{cases} 1,\ \text{pro}\ \ \ x\in(0,1)\\ 0,\ \ \ \text{pro}\ \ \ x\notin(0,1). \end{cases} ]

Řešení

Nyní je (y = g(x) = e^x.) Tato funkce je zřejmě rostoucí a má v každém bodě nenulovou derivaci. Pro určení využít buď vzorec (\ref{eq: 3}) nebo vzorec (\ref{eq: 4}).

Inverzní funkcí je funkce: [ g^{-1}(y) = ln(y),\ \ \ y \in (0,\infty). ]

Nyní tedy lze psát:

In [109]:
######### Zde je hlavička ################
import sympy as sym 
from sympy.plotting import plot3d
from IPython.display import Math, display, Latex
import numpy as np
sym.init_printing()
##########################################

############# Definice funkcí ############

y = sym.symbols('y')
def f_X(x):
    if 0 < x and x < 1:
        return 1
    else:
        return 0
def g(x):
    return sym.exp(x)
###########################################
In [46]:
#  Určeme inverzní funkci g^{-1}:
eq = sym.Eq(g(x), y)
# display(sym.solve(eq, x)[0])
g_inv = sym.solve(eq, x)[0]
Dg_inv = sym.diff(g_inv, y)
display(Math("\\text{Inverzní funkcí k funkci g je funkce}:\
            g^{-1}(y) = %s" %sym.latex(g_inv)))
display(Math("\\text{Derivace inverzní funkce: }\
            [g^{-1}]'(y) = %s" %sym.latex(Dg_inv)))
$\displaystyle \text{Inverzní funkcí k funkci g je funkce}: g^{-1}(y) = \log{\left(y \right)}$
$\displaystyle \text{Derivace inverzní funkce: } [g^{-1}]'(y) = \frac{1}{y}$

Nyní dosaďme do vzorce (\ref{eq: 4}):

Nicméně, abychom správně spočetli funkční hodnotu složené funkce (f_X\circ g^{-1}), je nutné řešit nerovnosti: (0 < g^{-1}(y) \wedge g^{-1}(y) < 1.)

In [116]:
solns = sym.reduce_inequalities([g_inv < 1, g_inv > 0], y)
display(solns)
$\displaystyle 0 < y \wedge 1 < y \wedge y < e$

Tedy nyní můžeme zapsat předpis hustoty pravděpodobnosti (f_Y): [ f_Y(y) = \begin{cases} 1/y,\ \ \ \text{ pro } y\in (1,e)\\ 0,\ \ \ \text{ pro } y\notin (1,e). \end{cases} ]

Cvičení

Najděte hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny $Y = 8X^3,$ pokud má n.v. $X$ má hustotu pravděpodobnosti: \begin{equation}\label{eq:} f_X(x) = \begin{cases} 2x,\ \ \ \text{ pro } x\in(0,1)\\ 0, \ \ \ \text{ pro } x\notin (0,1). \end{cases} \end{equation}

In [ ]: