Nabídka diplomových a bakalářských prací
Zde je seznam témat bakalářských a diplomových prací, které nabízím. Po domluvě mohu vypsat i jiné téma z matematické fyziky. Od studenta/studentky očekávám, že bude pracovat průběžně a svou práci bude konzultovat alespoň přibližně jednou za dva týdny. Následující popis je přibližný, detaily rád vysvětlím osobně. Přeškrtnuté téma je (předběžně) zadáno. Nebojte se mě kontaktovat pro více informací.
Některé práce se zabývají kvantovými grafy; z matematického pohledu jde o řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Základem je metrický graf, který se skládá z množiny vrcholů a množiny hran, které tyto vrcholy spojují. Hrany mohou být jak vnitřní - úsečky (ty jsou parametrizovány intervaly (0,lj), tak i vnější - polopřímky vycházející z jednoho z vrcholů (parametrizovány intervaly (0,∞). Na tomto grafu je definovaný kvantový hamiltonián, který působí jako záporně vzatá druhá derivace a má definiční obor skládající se z určité třídy funkcí na grafu splňujících vazebné podmínky ve vrcholech. Vazebné podmínky jsou podmínky spojující limity funkčních hodnot a limity derivací z jednotlivých hran grafu v daném vrcholu. Úvod ke kvantovým grafům je např. v publikacích [1], [2] a [3] nebo v češtině v mém studijním textu.
Téma č. 1: Asymptotika vlastních hodnot pro vlnovou rovnici s tlumením na grafech s iracionálním poměrem délek hran (vhodné pro bakalářskou práci)
Bakalant bude studovat vlnovou rovnici s tlumením na grafu. Asymptotické chování vlastních hodnot pro tento problém a graf s racionálním poměrem délek hran bylo zkoumáno v článku [1]. Chování pro iracionální poměr délek hran bylo v dané publikaci pouze naznačeno. Úkolem studenta bude omezit oblasti, ve kterých se asymptoticky (pro velké hodnoty imaginární části) vyskytují vlastní hodnoty jak pro racionální, tak pro iracionální (nebo jemu blízký) poměr délek hran grafu. Pro konkrétní jednoduché grafy nejdříve numericky najde polohy vlastních hodnot a poté dokáže tvrzení o jejich asymptotických polohách. Jako další literatura lze využít [5]. Vizte též stránku popisující výsledek [1].
Téma č. 2: Kvantový chaos na grafech (vhodné spíše pro bakalářskou práci, může být uzpůsobeno diplomové práci) (zamluveno)
Chaotické chování bývá v kvantové teorii určováno pomocí statistiky rozložení vlastních čísel problému (konkrétně statistiky vzdáleností dvou nejbližších vlastních čísel). Bylo ukázáno, že pro některé kvantové grafy (například pro úplné grafy) přibližuje se statistika jejich vlastních hodnot numericky statistice vlastních hodnot některých typů náhodných matic.
Úkolem studenta bude ověřit dříve získané poznatky o statistickém chování vlastních hodnot kvantových grafů. Nejdříve nalezne statistiku vlastních hodnot tří základních skupin náhodných matic: gaussovských ortogonálních, gaussovských unitárních a gaussovských symplektických matic. Poté nalezne statistiku pro vybrané kvantové grafy a porovná ji s tou získanou v teorii náhodných matic. Téma je vhodné pro studenta s kladným vztahem k programování. Více podrobností např. v [1], [6], [7].
Téma č. 3: Hledání speciálních magických čtverců (vhodné spíše pro bakalářskou práci) (zamluveno)
Magický čtverec [8] je čtvercová tabulka přirozených čísel taková, že součet čísel v každém řádku, sloupci a diagonále je stejný. Na webové stránce [9] je uvedeno několik problémů (oceněných odměnami alespoň 500 EUR a láhev šampaňského); student se pokusí o vyřešení některého z nich. Nejdříve provede analytické výpočty, které problém zjednoduší, a poté napíše počítačový program, který se pokusí magický čtverec najít. Ačkoliv ideálním výsledkem je nalezení magického čtverce nebo důkaz jeho neexistence (oceněný zmíněnou odměnou), dobrým výsledkem bakalářské práce může být i numerický důkaz, že problém není řešitelný s čísly menšími než určitá hodnota.
Téma č. 4: Asymptotika rezonancí v kvantových grafech s vazebnou podmínkou preferované orientace (vhodné spíše pro diplomovou práci)
Pokud je vazebná podmínka preferované orientace (navržená v [10]) uvažována v daném vrcholu, je pro jednotkovou energii vlna, která do vrcholu přijde z jedné z hran, plně odražena do sousední hrany. Vlna vcházející do vrcholu z této sousední hrany je odražena do další hrany, atd. Asymptotické vlastnosti této podmínky pro vysoké energie se výrazně liší, pokud je počet hran vcházejících do vrcholu sudý nebo lichý. Pro sudý počet hran je vrchol pro vysoké energie dobře prostupný, zatímco pro lichý počet hran bude vrchol efektivně téměř rozpojený. Tento jev je dobře ilustrovaný v článcích [10], [11], [12], [13].
Cílem práce bude studovat kvantové grafy s připojenými polopřímkami s vazbou preferované orientace ve vrcholech, ve kterých jsou polopřímky připojeny. Student nalezne rezonanční podmínku a určí asymptotické polohy rezolventních rezonancí pro vysoké energie. Lze očekávat, že pokud je počet připojených hran ve vrcholu lichý, polopřímky budou efektivně pro vysoké energie odpojeny a rezonance budou blízko reálných vlastních hodnot odpovídajících zbytku kompaktního grafu. Na druhou stranu v případě sudého počtu hran ve vrcholu budou rezonance daleko od reálné osy. Očekávané chování se podobá situaci pro delta a delta' vazebnou podmínku studovanou v [14]. Student se se zmíněným jevem seznámí na jednoduchých příkladech, ve kterých nalezne asymptotickou polohu rezonancí, a pokusí se dokázat tvrzení pro obecný případ.
Literatura
[1] G. Berkolaiko, P. Kuchment, Introduction to Quantum Graphs, Mathematical Surveys and Monographs 186; 270 pp; hardcover. AMS (2013).
[2] P. Kuchment, Quantum graphs I. Some basic structures, Waves in Random Media 14 (2004), S107-S128
[3] G. Berkolaiko, An elementary introduction to quantum graphs, in "Geometric and Computational Spectral Theory", Contemporary Mathematics, 700, AMS 2017, arXiv:1603.07356 [math-ph].
[4] P. Freitas, J. Lipovský, Eigenvalue asymptotics for the damped wave equation on metric graphs, J. Diff. Eq. 263 (2017), 2780--2811 [arXiv: 1307.6377 [math-ph]]
[5] D. Borisov, P. Freitas, Eigenvalue asymptotics, inverse problems and a trace formula for the linear damped wave equation, J. Diff. Eq. 247 (2009), 3028--3039, [arXiv: 0905.3242 [math.SP]]
[6] M. L. Mehta, Random Matrices, vol. 142 of Pure and Applied Mathematics, Academic Press, 3rd ed. (2004).
[7] G. Berkolaiko, E. B. Bogomolny, and J. P. Keating, Star graphs and Šeba billiards, J. Phys. A, 34 (3): 335-350 (2001), arXiv: 0010045 [nlin.CD].
[8] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
[9] http://multimagie.com/English/Enigmas.htm
[10] P. Exner, M. Tater, Quantum graphs with vertices of a preferred orientation, Phys. Lett. A 382 (2018), 283-287. [arXiv: 1710.02664]
[11] P. Exner, J. Lipovský, Spectral asymptotics of the Laplacian on Platonic solids graphs, J. Math. Phys. 60 (2019), 12210. [arXiv: 1906.09091]
[12] P. Exner, J. Lipovský, Topological bulk-edge effects in quantum graph transport, Phys. Lett. A 384 (2020), 126390. [arXiv: 2001.10735]
[13] M. Baradaran, P. Exner, M. Tater, Ring chains with vertex coupling of a preferred orientation, Rev. Math. Phys. 32 (2020), 2060005. [arXiv: 1912.03667]
[14] P. Exner, J. Lipovský, Pseudo-orbit approach to trajectories of resonances in quantum graphs with general vertex coupling: Fermi rule and high-energy asymptotics, J. Math. Phys. 58 (2017), 042101. [arXiv: 1608.03978]