Výpočet derivace

Ze vzorce pro derivaci v bodě odvodíme obecnou derivaci funkce.

mějme funkci: $f\mathrm{(x)}=x^2$ a vzorec:
$f´\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

dosadíme do vzorce $x^2$ za $f\mathrm{(x)}$ a ${\mathrm{(x+h)}}^2$ za $f\mathrm{(x+h)}$

vztah bude po dosazení do vzorce vypadat takto:
$f\mathrm{´(x)}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{(x+h)}}^2-x^2}{h}$

po roznásobení závorky bude zlomek vypadat následovně:
$\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$

po sečtení $x^2$ a $-x^2$ dostaneme:
$\underset{h\to 0}{lim}\frac{2xh+h^2}{h}$

po vytknutí $h$ z $2xh+h^2$ dostaneme finální vztah kde už stačí jen pokrátit $h$ v čitateli a jmenovateli
$\underset{h\to 0}{lim}\frac{h(2x+h)}{h}$

v posledním kroku už stačí jen dosadit za $h$ nulu.
$\underset{h\to 0}{lim}2x+h$

výsledkem je že derivace $x^2$ je $2x$