Aplikace derivace

Výpočet rychlosti a zrchlení

Když známe průběh polohy tělesa v čase můžeme z ní určit pomocí první derivace rychlost tělesa v čase a použitím druhé derivace získáme zrychlení.

Příklad 1.:

Mějme průběh polohy $s\left(t\right)=t^2\left[m\right]$ určete zda se jedná o pohyb rovnoměrný přímočarý nebo přímočarý rovnoměrně zrychlený případně jiný druh pohybu.

Výpočet:

Vypočítáme průběh rychlosti za použití 1. derivace.

$v\left(t\right)=s\left(t\right)´=\left[t^2\right]´=2t\left[m{s}^{-1}\right]$

Vidíme že rýchlost není konstantní tudíž se nejedná o rovnoměrný přímočarý pohyb.

aplikujeme tedy 2. derivaci abychom zjistili průběh zrychlení.

$a\left(t\right)=s\left(t\right)´´=v\left(t\right)´=\left[2t\right]´=2\left[m{s}^{-2}\right]$

Odpověď:

Z výpočtu vychází že zrychlení je konstantní a proto je druh pohybu přímočarý rovnoměrně zrychlený

Nalezení extémů funkce

Pomocí 1. derivace můžeme určit zda je funkce rostoucí nebo klesající. Když víme, kde funkce roste nebo klesá, můžeme určit lokální minima a maxima funkce. Díky 2. derivaci můžeme určit konvexnost a konkávnost funkce. Pokud víme kde je funkce konvexní nebo konkávní můžeme určit inflexní body.

Příklad 2.:

Je zadána funkce $y=x^3-x$ . Určete kde fuknce roste a kde funkce klesá.

Výpočet:

Nejpreve určíme derivaci funkce.

$y´=3x^2-1$

Dale určíme kde je derivace nulová.

$3x^2-1=0$

$3x^2=1$

$x^2=\frac{1}{3}$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{1}{3}}$

$x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Rozdělíme si definiční obor podle bodů kde je 1. derivace nulová a určíme jestli je derivace na těchto intervalech kladná či záporná.

	$(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}})$	$(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})$	$(\frac{1}{\sqrt{3}};\infty )$
$\sqrt{3}x-1$	-	-	+
$\sqrt{3}x+1$	-	+	+
$3x^2-1$	+	-	+

Z tabulky vidíme kde funkce roste (derivace je kladná) a kde funkce klesá (derivace je záporná)

Výsledek si můžeme ověřit pomocí grafické kalkulačky Desmos nebo Geogebra.