Integrál

Co je integrál?

Zjednodušeně integrál je inverzní operací k derivaci. Máme dva hlavní druhy integrálů určitý a neurčitý integrál.

Neurčitý integrál

Je množina funkcí, které jsou po zderivování totožné. Výsledkem výpočtu neurčitého integrálu je primitivní funkce k integrované funkci s přičtenou integrační konstantou.

Určitý integrál

Je číslo vyjadřující velikost plochy mezi křivkou f(x) a osou x

Zápis Integrálu

Neurčitý integrál se zapisuje:

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c$

kde $F\left(x\right)+c$ je výsledek neurčité integrace zvaný primitivní funkce k $f\left(x\right)$

Určitý integrál se zapisuje:

$\stackrel{\mathrm{b}}{\underset{\mathrm{a}}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(\mathrm{b}\right)-F\left(\mathrm{a}\right)$

kde rozdíl $F\left(\mathrm{b}\right)-F\left(\mathrm{a}\right)$ odpovídá velikosti plochy mezi křivkou $f\left(x\right)$ a osou $x$

Počítání s integrály

příklad 1.:

Vypočítejte pomocí integrační tabulky.

$\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctgx+c$

Příklad 2.:

Vypočítejte metodou per partes.

$\int xsinxdx=\left|\begin{array}{ccc}u=x& |& u´=1\\ v=-cosx& |& v´=sinx\end{array}\right|=$

$-xcosx-\int -1cosxdx=xcosx+sinx+\mathrm{c}$

Příklad 3.:

Vypočítejte metodou substituce.

$\int 2x{e}^{x^2}dx=\left|\begin{array}{c}u=x^2\\ du=2xdx\end{array}\right|=$

$\int e^{u}du=e^u+c=e^{x^2}+c$